广东北江中学512026 叶浩山

2017年高考全国乙卷理科第21题的探究与思考

广东北江中学512026 叶浩山

高考数学压轴题富含数学的思想和方法,自然是中学老师研究高考、备考的良好素材.笔者从解题思路探究、命题背景、复习教学反思等方面对2017年高考数学全国乙卷理科第21题进行了研究,供大家参考.

全国I卷理科第21题f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

一、解题思路探究

1.如何找符合条件的函数值

试题的第(1)问比较容易,为第(2)问作铺垫.试题的第(2)问考查函数的零点问题.

由第(1)问可知：若a≤0,f(x)在(-∞,+∞)单调递减,f(x)至多有一个零点.

(2)若a＞0,f(x)在 (-∞,-lna)单调递减,在(-lna,+∞)单调递增.当x=-lna时,f(x)取得最小值,最小值为解得a∈(0,1).此时我们找出了f(x)有两个零点的必要条件a∈(0,1),要说明函数有两个零点,还需在区间(-∞,-lna)和(-lna,+∞)分别找到大于零的函数值,这是本题的难点.对于在区间(-∞,-lna)上容易找到f(-1),f(-2)等值是大于零的(实际上由单调性可知当x≤-1时,f(x)＞0).在(-lna,+∞)上如何找到大于零的函数值?笔者尝试用待定系数法来找,考虑的值,

显然当λ≥3-a时,

因此我们只要取的x,满足就有f(x)＞0.本题的难点在于如何找符合条件的函数值,但此问题能否用极限的思想说明?即若a＞0,f(x)在 (-∞,-lna)单调递减,在 (-lna,+∞)单调递增.又当0＜a＜1时,f(x)的最小值f(lna)＜0,且所以函数f(x)有两个零点.用极限的思想说明函数f(x)图像的趋势,可避免找符合条件的函数值的难点,但此法在笔者所在的市统考改卷中都会扣分,就不知道高考评卷场如何处理这个问题.

2.试题的另解

另解1 对于函数的零点问题我们可……