浙江大学附属中学(310021) 陈斌

云南省昆明市寻甸县柯渡镇柯渡中学(655212) 杨彩清

数列不等式放缩法
——由一个自招题谈数列放缩的解题策略

浙江大学附属中学(310021) 陈斌

云南省昆明市寻甸县柯渡镇柯渡中学(655212) 杨彩清

2017年是全国新高考改革的元年,而数列不等式放缩是今年浙江新高考的压轴题和名校自招必考题,所以研究数列不等式放缩问题显得很有必要.目前比较有效的数列不等式有很多,例如：分析通项法、裂项分析法、等比数列法、切线放缩法、二项式放缩法等.其中迭代函数不动点放缩是处理{an}与Sn范围问题非常常用的方法.本文就以今年一道自主招生的数列不等式放缩为例,来详细讲解此方法的奥妙与技巧.

数列不等式放缩 不动点裂项 迭代函数

一、试题呈现

例 (2017年复旦大学自主招生望道计划简答题第2题)已知正项数列{an}满足

(1)求证：当n≥2时,an≥1.

(2)求证：{an}收敛.

二、多维分析 直击要害

思路1(1)一般处理{an}的范围问题,往往最直接的处理方法是直接运用数学归纳法.因为数学归纳法是一种处理与正整数有关的非常有效的一种数学解题方法,但是需要注意的是在使用这方法时必须用假设的条件证明出结论,否则证明是错误的.(2)处理{an}收敛.往往只要证明单调有界即可.

解法1(1)由正项数列{an}满足

假设当n=k时,ak≥1不等式成立.

当n=k+1时,下证：ak+1≥1.

由ak＞0,得,只要证

又由于ak≥1,得(ak-1)(kak-1)≥0不等式成立.

(2)要证明{an}收敛,只要证{an}单调有界即可.由(1),可知an≥1.故只要证明{an}单调递减即可.而要证明{an}单调递减,可……