江苏省高邮市第一中学 赵 越

探讨对称思想方法在高中数学中的应用

江苏省高邮市第一中学 赵 越

数学是高中教育的重要组成部分，也是教学上的重点和难点，该学科具有一定的抽象性和逻辑性，很多学生都认为该学科有一定的困难。对此，教师可在教学中引入对称思想，促使学生通过分析问题隐含的对称因素来提高解题效率。

高中数学；对称思想；应用

对称是一种常见的数学思想，更是一种分析问题和解决问题的重要途径，学生在学习中通过对称思想能快速地准确地解决问题，提高解题效率。因而数学教师应在实际教学中善于从函数、图形、数列等知识中挖掘对称思想，帮助学生提高学习质量。

一、对称思想在高中数学函数问题求解中的应用

函数是高中数学的重要组成部分，要解决函数问题，就要科学应用函数知识，而函数理论的外化即由已知数学事实导出待求数学事实的过程。通过解题活动发挥对称思想对解题的联想、定向以及转化功能，重点突出对称思想对解题的指导作用。对称思想往往来源于一般知识，但又高于一般知识，学生应在掌握基础知识和解决方法的基础上概括相应的思维方法，同时，在不断学习方法和反复应用知识过程中总结归化规律以及分析问题、解决问题的基本规律。高中数学函数教学中包含很多对称思想，其中典型的对称思想即函数奇偶性图象关于原点和y轴对称，通常，二次函数图象关于直线对称，在三角函数中也存在轴对称和中心对称，所以在学习函数中，需要对函数对称性进行分析并加以灵活应用，必然能提高学习效果。例如：已知函数y=f（x）、函数y=g（x）在定义域R内都有反函数，且函数g-1（x-2）和f（x-1）的图象关于直线y=x对称，当g（5）=2000时，f（4）=？在解决此题中，已经了解互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，因此，函数y=g-1（x-2）和函数y=f（x-1）互为反函数。根据反函数就可得出f（4）的值，正确解答思路为：根据互为反函数的两个函数得出函数y=f（x-1）和y=g-1（x-2）的反函数，最终得出f（x-1）= g（x）+2，同时根据g（5）=2000得出f（4）=2000+2=2002。

二、对称思想在高中数学平面几何求解中的应用

当学生进入高三阶段后，就会对高一和高二阶段所学知识进行梳理，那么科学合理地设置问题对学生而言就十分重要，能帮助学生回忆所学知识，并在大脑中构建知识体系。以《空间几何体》一课为例，数学教师可设计以下教学：教师：“同学们，我们已经学完空间几何体，那么大家思考一下可以将空间几何体分成几类？”学生：“旋转体和多面体两类。”教师：“那大家从这两类中又学习了哪些几何体？”学生;“球、圆锥、棱锥、棱柱、圆台等。”教师：“除了上述知识，我们还在此章节中学习了投影，具体有哪些呢？”学生：“中心投影和平行投影。”教师：“它们有哪些特征？”学生：“宽相等、高平齐和长对正。”教师：“那直观图呢？”学生：“x轴不变，y轴为原来的一半。”在平面解析几何中，对称问题是一类常规的问题，只要认真分析题目中的对称结构，掌握对称问题的解法，巧用对称，就能很好地解决问题。例如：已知圆上任意一点过直线x-y+2=0的对称点都在圆上，圆方程为x2+y2+2x+by-3=0，其中b为实数，求b值。此题目的重点在于圆的对称性，而圆的对称轴直线需要过圆心，所以直线x-y+2=0为已知圆的对称轴直线，从原方程配方可得知对此可将圆心表示为最后根据圆心的对称轴线直线列出方程求解得出b=-2。

三、对称思想在高中数学数列问题求解中的应用

毫无疑问，数列也是高考的必考内容，解决数列问题的关键在于求数列的通项公式，普遍会借助递推公式求数列通项公式，此类题型不仅有较多的类型，解题方式也有一定的灵活性，所以可针对每一种题型提出相应的解题方法。例如转化为等差数列an-an-1=f（n），运用叠加法求数列的通项公式；数学教材中运用叠加法提出等差数列（an-an-1=d）通项公式证明方法，往往在考试中会出现an-an-1=f（n）类似等差数列的递推公式，对此可以将其看作等比数列，运用对称思想也可提出以下解答方法：

例如：已知a1=1，an-an-1=n-1，求an。此题为简单的等差数列题型，运用对称可获得答案。

一般运用对称法求递推数列通项公式有两个特点，一方面为等式后边可以便于求和，学生往往已经掌握特殊数列求和，另一方面则为累加后等式左边可将错项相消而达到化简目的。在以往高考数学试题中，数列是重点考查项目，更是学生解题的重点和难点。借助对称思想可以直接观察题目中蕴含的对称性，从而快速解答。例如：已知{bn}为等差数列且公差为正数，设b1+b2+b3=15，b1b2b3=80，求b1+b12+b13=？根据等差数列可以得知，b1-b2=b2-b3，根据b1+b2+b3=15，b1b2b3=80可以顺利求出b2=5，再设{bn}公差为c，那么5（5-c）（5+c）=80，可求出公差c=3，因此b12+5+10c=35，b13=5+11c=38，得出b1+b12+b13=75。

总之，在高中数学教学中应用对称思想效果显著，能提升分析问题和解决问题的效率。教师在教学中应引导学生挖掘问题中涵盖的对称因素，从而将复杂问题转化为相对熟悉的问题链，由此提高解题效率。

[1]祝林娟.研究对称思想在中学数学中的应用[J].数理化解题研究，2013（7）：26-27.

[2]纪智斌.“换元、对称、联想”思想方法在高中二次函数解题中的运用[J].考试周刊，2014（43）：80-81.

[3]童建福.数学思想方法在解析几何教学中的应用[J].理科考试研究， 2016，23（1）：8-8.