江苏省苏州工业园区斜塘学校 孔春芳

如何培养学生建立几何模型的意识

江苏省苏州工业园区斜塘学校 孔春芳

数学模型的建立其实是在大量的题海中观察、分析、提炼而成的。这个提炼的过程就是一个思考的过程，没有对解题过程和结果的反思，就没有数学模型的产生。运用模型的过程又是一次对问题进行全方位思考的过程，在提炼、运用的过程中需要学生不断去反思，这种反思将极大地促进学生思维能力的提升。

本文从苏州工业园区初三期末调研的一道填空压轴题说起，探讨如何在研究一类最值问题时培养学生几何模型意识的建立。

一、问题引导、初识模型

例1 如图1-1，在正方形ABCD中，AB=3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B 上移动。连接AP,并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP',连接BP'，在点P移动的过程中，BP'长度的最小值

要解决求BP' 的最小值问题，必须要知道P'的运动路线是什么样的，我们发现，P'是受P的运动而运动的，P是主动点，P'是从动点，可以猜测P'的路线也是圆上的点。我们不妨先找几个特殊点P，因为P是⊙B上的点，比如可以找⊙B与直线AB的两个交点，经过旋转90°得到P'的位置，从而得到点P'的路线是以点D为圆心，1cm长为半径的⊙D上的点。这样“BP'长度的最小值”就被转化为了“平面内一点与圆上各点连线中，到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长”的问题处理，如图1-2，使BP'距离最小的点的位置即为如图1-3所示的点。

二、联系中考、强化模型

最值问题一直都是中考的热点和难点，既可以与几何模型结合，也可与函数模型等结合，综合性较强，难度较大。笔者在教学中发现，很多学生不能很好地解决此类问题，或者说对此类问题较生疏，本人觉得其根本原因还是学生缺乏轨迹思想这种动态的考虑问题的方式。我们来看一道中考最值问题：

例2 （2016淮安）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值

先研究题目大背景：整个问题在一个确定的直角三角形背景下，点F是定点，点E是边BC上的一个动点，是主动点，而点P由点C关于直线EF翻折而来，是从动点，点P随着点E的运动而运动、确定而确定。再明确目标：求点P到边AB的距离的最小值。

为什么会产生这个最值呢？AB是条定边，点P是个动点，这才导致了最值的产生.所以问题的关键肯定就是动点P。接下来，目光锁定到了动点P：既然点P是动点，那么它是怎么运动的呢？或者说，点P的运动路线是什么样的呢？

图2

图 2-1

图 2-2

图 2-3

图 2-4

表面来看，动点P是定点C沿着动直线EF翻折而来的，根据翻折“不变性”，易知PF始终等于CF=2，而点F是个定点，即动点P始终被“绑在”离定点F的距离等于2的一条确定的路线上。根据圆的定义可知，动点P一定在以定点F为圆心，2为半径的圆上运动，如图2-1，画出这个圆来，当然，点P的运动路线并非整个圆，而是圆的一部分，即为一段圆弧。这样，“点P到边AB距离的最小值”就被转化为了“定⊙F上的点到边AB距离的最小值”。

其实上面这个转化成立也是有前提的：原问题中的点P要能够取到使“定⊙F上的点到边AB距离的最小值”的⊙F上的点！这一点，很多师生比较容易忽视，虽然直观上确实能取到，但我觉得“做数学”一定要严谨，即便很直观，也要简单验证或者说一下，尤其是平时琢磨题目的过程中，这是一种好的学习品质。

图2-2给出了“圆上一点到直线距离的最小值”模型，根据此模型作出图2-3，则PG即为所求最小值。

借助Rt△ABC和Rt△AFG相似，算出PG=1.2，最后检验一下这个P可不可取：只需过点P作PE∥AB即可，如图2-4所示，这样的点E在BC边上，故可取。

无独有偶，2014年成都中考也有一道与例2几乎一模一样的考题：

如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接AC,则AC长度的最小值

同例2的分析如出一辙，由翻折易知△A'M=AM=1为定值，点M是定点，故动点A'被“绑在”以定点M为圆心，1为半径的定圆上运动，有了刚才两道题目的启发，这道题应该可以得心应手了。

图3

三、促进思维、感悟模型

上面谈到的各个例题，动点的路线都在一段圆（弧）上运动，初中阶段会接触到的曲线路线一般是圆或者圆弧，比如旋转问题。当然，动点也可能在双曲线或者抛物线上运动，这都属于曲线路线。

斯滕伯格说：智力就是学习的能力，就是在不熟悉的情境中使用先前发现的模式和关系思考并解决问题的能力。所以，数学学习中，教师要重点关注的是模式和关系，通过总结和归纳数学的模型，让学生在短期内迅速领会并运用模型和关系去解决问题，数学教师要学会用有限的类型去应对无限的题海，才能真正给学生减负，给课堂增效。比如在相似教学时的“K”型模型以及“K”型的各种变式模型、“A”型相似、“X”型相似、斜截型相似、母子相似等几何模型。

随着课程改革推行的深入，初中阶段的几何教学是课改的重点内容。在对初中几何数学的教学方式进行探索及创新的过程中，模型教学对几何数学课程改革的意义日渐突显，充分调动了学生对学科知识学习的兴趣与积极性，学生在学习过程中的参与度和自主性都得到了明显加强，这不仅顺应了课程改革的要求，同时有效提高了学生课堂学习的效率，是教学成果显著提升的制胜法宝。将几何模型教学从几何数学学科推广至其他学科的教学改革实践中，具有十分重大的借鉴意义。