夏正勇

[摘 要] 导数的应用问题是各地高考卷中的热点问题，经常以压轴题的形式出现.这类问题，综合性强，对学生的综合解题能力，思维的灵活性、创造性方面要求很高.本文针对此类问题进行剖析，促进知识的有效复认和解决问题方法的创新生成.

[关键词] 成立问题；分离参数；分类讨论；洛比达法则

恒成立与能成立问题（存在性问题）一直是函数知识的热点内容，都是导数的应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的问题. 对于此类问题，我们常用的一种方法是分离参数，再利用求导的方法解决，但此法应用有局限，有时会发现求导后的函数值不存在.这时我们应转变战略，从其他角度入手，比如洛必达法则.

发现问题

典例1：（2017届高三期末镇江卷）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=λ（x2-1）（λ为常数）.

（1）已知函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，求实数λ的值；

（2）如果λ= ，且x≥1，证明：f（x）≤g（x）；

（3）若对任意x≥1时，关于x的不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数λ的取值范围.

原解：略. 原解在处理第（3）问时，用分类讨论的方法处理，但比较烦琐，也较难想到.现采用分离参数的方法处理如下.

另解：（3）当x=1时，不等式恒成立，此时λ∈R；

当x>1时，问题等价于λ≥ max；

令g（x）= （x>1），则g′（x）= ，令h（x）=-x2lnx-lnx+x2-1（x>1），则h′（x）=-2xlnx+x- ，h″（x）= -2lnx+ -1. 因为x>1，所以h″（x）<0. 知h′（x）在（1，+∞）上为减函数，h′（x）

问题1：函数g（x）在（1，+∞）上为减函数，因此在x=1处取得最大值，而x=1取不到；

问题2：x=1不能代入函数，代入的话分母为零，无意义.

思考：上述两个问题，问题2才是关键.若函数g（x）在x→1时，g（x）→+∞，则该题无解，正常情况下出题人不会这样设计问题的. 那么只有一种可能就是函数g（x）在x→1时，g（x）存在逼近值……