唐睿

【摘要】 怎样上好一堂数学课？广州大学曹广福教授曾提出问题驱动一说，问题是数学的核心，是推动数学发展的动力。通过数学学习学会用数学的眼光观察问题、用数学的头脑思考问题以及用数学的方法解决问题，这才是数学教育之本质。南京师大附中陶维林教授也曾提出问题启发一说，问题是数学的心脏，在教学中教师最主要的任务就是提出问题，以及引导学生提出问题。教师最重要的也是最困难的，就是提好——问题，提——好问题。孔子的启发式仍然是最好的教学方法，没有问题就没有启发。本文将从曹教授问题驱动这一概念背景下，来探讨高中数学即包括知识教学也包括解题教学的教学方法。问题有两类，第一类是关于知识教学的，即“是什么”和“为什么”的问题；第二类是关于怎样解题的，即“怎么做”和“怎么想”的问题。知识教学和怎样解题的教学，这是数学课堂的两大基本任务。数学课堂就是通过这两大基本途径来帮助学生学会数学地表达以及数学地思维的。希望通过对数学教材和高考试题的深入研究，而不至于使得这种探讨变得空洞。但考虑到篇幅，将其放到本文的附录部分中。

【关键词】 问题驱动 高中数学 教学方法

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）09-114-02

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一、谈数学知识（即核心概念和原理）的教学方法

我们把数学知识分为概念性知识和原理性知识，除了概念性知识，其余的诸如数学的公理、定理、公式、性质、法则、步骤、方法等都统归为原理性知识。

原则（一）固本浚源：既要知道“是什么？”更要知道“为什么？”

曹广福教授认为，数学课堂的灵魂是思想，缺少思想的教育不是教育，而是知识与技能培训。知识本身不是终极目标，知识只是一种思想载体，是思想外化的表现。在他看来，课堂教学不能拘泥于教材，任何一门理论的产生都离不开思辨，要增强课堂的弹性。

首先，数学知识的教学需要多质疑“是什么”的问题，这叫求知。对数学知识的学习应该抓住其本质，或叫“固本”。梁漱溟先生在《谈学问》一文中开篇就讲“学问贵能得要”也是这个意思。如何认清事物的本质？我认为，关键在于领悟变化和不变的道理，尤其要知道变化中保持不变的东西才叫本质。例如高中数学椭圆定义的教学，椭圆上的动点对应的两条焦半径是变化的，但变化中有不变性或不变量，这个不变量就是两条焦半径的和，这个不变的东西才是椭圆的本质。此类问题还有很多，详见本文附录一数学教材研究部分。数学中的一切知识大概都源于对变化中那个不变东西的追求。这不仅是一个数学问题，更是一个哲学问题，当然数学跟哲学本身就不分家的。参变化之机悟不变之理，我把变化和不变称之为数学之一种精神。其一、不变是数学之追求，是信仰是永恒是终极是数学知识之本质，如数学中的不变量、不变性、不动点等；其二、变化是数学之智慧，是手段是方法是技巧是数学解题之规律，如结构破坏、化曲为直、转化化归等都是在讲变化。

其次，数学知识的教学需要多质疑“为什么”的问题，这叫求真。对数学知识的学习应该追问其源起，或叫“浚源”。例如，高中数学数系的扩充与复数的引入的教学，虚数是什么？为什么要有虚数？这是不能回避的问题，人教版新课程标准实验教科书只简单交代是方程的根，但为什么要使这样的方程有根呢？这种追问是有价值的！如果能进一步回顾数的发展历史和人类对数的认识历程，包括无理数的产生跟第一次数学危机的关系，那么学生对复数的概念的认识的深度和广度自然会达到一个更高的层次。更重要的是，学生对数学学习的兴趣被激发了！此类问题还有很多，详见本文附录一数学教材研究部分。当然，这需要我们对数学史有一定的了解，数学史包括数学的人物史、符号史、思想史、危机史等等。

原则（二）异途同归，准确理解数学的三种语言

数学语言又可归结为文字语言、符号语言、图形语言三类。数学语言作为数学理论的基本构成成分，具有“高度的抽象性、良好的直观性、严密的逻辑性”，应用十分广泛。简单地讲，数学语言科学、简洁、通用。掌握好数学语言是学习好数学的关键！伽利略说，世界是一本以数学语言写成的书。卡尔·萨根说，宇宙中的技術文明无论差异多大，都有一种共同的语言——数学语言。我们在教学任何一种数学知识，无论是概念性知识或者原理性知识，都应该充分全面展示该种知识的不同语言也就是三种语言表达。这样的例子是不胜枚举的，例如集合的教学，纵观全部高中数学知识，集合部分虽然简单，但是却十分关键。可以这么说，不懂集合语言，就不懂数学语言。说到底，还是数学的那三种语言，尤其是对符号语言即列举法和描述法的认识，看不懂其中的各种符号语言，就无法准确理解一个集合中元素的构成也就是该集合的含义。

原则（三）先学后教

对于学生来讲，提前预习、正确听课、及时复习是中学的三大学习方法，根本在于课堂效率，关键在于提前预习。对于教师来说，可以改进的是提前备好一周的课，并改变自己习以为常的陈旧的教学观念和行为。例如，作业布置的目的应该改变，应该变巩固作业为主为预习作业为主，课堂教学的目的也应该改变，应该变被动接受新知识为主为消化吸收新知识为主。这也是翻转课堂的出发点和归宿吧！

原则（四）评价手段

如何评价是一个复杂的问题，但又很重要。对于数学知识的教学怎样才算学会呢？我认为最简单的方法就是口述，也就是能复述出来，或叫“背”、“默”，但不是死记硬背的意思，而是回顾，可能用理解和记忆这两个此来描述更恰当，这也是很好的检验对数学知识是否学会的有效手段。

二、谈怎样解题（即核心问题和方法）的教学方法

数学习题包括例题和练习。例题和练习背后蕴含的是数学的问题（包括如何给出设问和如何给出条件）和方法（如何分析思路和如何设计步骤）。

原则（一）举一反三：既要知道“怎样做？”更要知道“怎样想？”endprint

南京师大陶维林教授说，差的教师做给学生看，好的教师想给学生听。只有教师解题教学行为的改变，才可能改变学生的解题行为，要关注学生的解题行为。比如，他们花多少时间读题？为结果而教，忽视过程的教育价值，仍然是当前教学中的普遍现象。不要培养恨数学的人；在课堂上，老师应该装傻，而不是犯傻。毫无疑问，这些观点都是振聋发聩的。

首先，数学解题的教学需要多质疑“怎样做？”的问题。著名数学家和数学教育家波利亚在解题表中将问题解决分为四步进行，第一步：你必须弄清问题。第二步：找出已知与未知的联系。第三步：写出你的想法。第四步：回顾。弄清问题即审题，后面的三步依次为拟定计划、实现计划、反思回顾。我更喜欢三步解题法，第一步解决思路问题，第二步解决运算问题，第三步解决结论问题，包括对结论的检验。这也是我一直强调的，即学会有条理的、分片段设计解题过程和步骤。

其次，数学解题的教学需要多质疑“怎样想？”的问题。问题解决最关键的东西在于上述第一步，即思路问题，思路或灵感怎么来？我认为数学精神、思想、方法对寻找解题思路如数形结合、转化化归、分类分步、归纳演绎等数学思想有着无可替代的普遍意义和价值，尤其是在攻难题的时候。学数学要敢于攻难，对于困难，你若越怕难，一旦退缩，困难就会越大；而你若越迎难而上，困难反而越小，所以，遇到困难要有一点不畏难并且迎难而上的精神。做题如此，做人亦如此。不妨攻一攻难题，只要难得有价值，而不是钻牛角尖，就应该迎难而上，否则缺了这种态度和精神的话，做人时遇事便倒，做题时也不会有真进步的。如何攻难呢？对于一道难题，你先解题的一部分！当你尝试解题的一部分，或许你会发现一不小心就把整道题都解出来了，原来的所谓的难题也不那么难了！这是波利亚《怎样解题》的智慧。

原则（二）一题多用，充分挖掘习题的教学功能

最欣赏广东金中卢镇豪老師的一句话：一题多用，充分挖掘例题的教学功能，重视一题多用，包括一题多思、一题多变、一题多解。我们不是为做题而做题，做一道题应该能解决一类问题，也就是举一反三。不懂这一点，盲目刷题是学不好数学的。首先就是要重视解后思，其次就是要重视题的变化，其三就是要重视同一个问题的多种解法。只有这样才能培养学生发散思维和创新意识。解题的教学的步骤应该是，思路分析、规范解答、功能挖掘。思路分析就是不仅要知道怎样做的，更要知道怎样想的。规范解答就是要有条理分步骤一个片段一个片段解题。功能挖掘不仅是指解题规律方法的总结，更要反思怎样命题？包括怎样给出条件？以及怎样设问？对命题偏好的思考的深度取决于我们对数学内容的理解，是有用的，并非纯粹出自应试的目的。

例如，怎样解三角形题？首先，我们要反思解三角形要解决的核心问题是什么？包括怎么设问？通常是求边、求角、求面积。怎么给出条件？如果给出三个条件，当然这个条件里边还至少要有一条边，那么这个三角形是可解的，一解或最多两解，属于容易题；如果给出两个条件，那么这个三角形是不确定的，这时候可能会出现边、角、面积的范围讨论，属于中档题。其次，我们要反思解三角形题的解题规律是什么？也就是解题思路和灵感从哪里来？角和边是核心的概念，解题的思路和灵感从这里来，角的变换消角以及边角互化是惯用技巧。对于正余弦定理的选择，一般说来，角多的时候用正弦定理，角少的时候用余弦定理。

原则（三）先做后讲

同知识教学应遵循先学后教的原则一样，解题教学也应遵循先做后讲的原则。尤其是课堂补充的材料应该提前发给学生，尤其是有相当难度的习题更应该如此。有些课堂老师直接用幻灯片投影出题，学生甚至都来得及仔细读题审题，教师就提问学生或者就开始讲题，这种做法是不可取的。我的观点，数学课还是少用多媒体教学，多媒体只是辅助教学的工具而已，需要用几何画板展示动画过程的例外，能够不用多媒体还是尽量不用吧！现在极端的情况是投影完全替代板演，课堂过分强调技术注重形式，数学的思辨少了，数学味没有了，这是我们不能不引起重视的。

原则（四）评价手段

为什么有的同学总是有这种现象，上课都能听懂，考试就不会呢？这其实关系到如何评价解题教学的问题。对于解题教学怎样才算学会？提出上述疑惑的同学，其中的原因如果从解题教学的角度来分析，有可能是在解题教学的过程中，总是习惯老师讲学生听，而很少动手，对于难的题目定是从来没有完整过笔，也就是解题时特别是遇到难题时从来没有完整的解完一道题，例如解析几何的综合题，这种题学生不自己动手是永远解不会的。

结束语

清华大学教经济学授钱颖一在一篇名为《中国教育的今天，就是中国经济的明天》的文章中讲到三个跟教育有关的故事，其中一个是这样说的，中国学生回到家里，家长都问：“你今天学到了什么新知识？”据说犹太学生回到家里，家长却问：“你今天问了什么好问题”。前者的落脚点是“学知识”，而后者的侧重点是“提问题”。犹太文化与中国文化有两点相似：一是注重家庭，二是注重教育。从一个小的细节就可以看出，但我们的教育方法与同样重视教育的犹太人如此不同。见微可以知著，这难道不应该引起我们的反思吗？

[ 参 考 文 献 ]

[1]何小亚《中学数学教学设计》.

[2]曹广福《问题驱动的数学教学理论与实践》.

[3]卢镇豪《教师专业成长印迹》.

[4]白涛《高考考什么及怎样备考》.endprint