善军

摘要：在初中数学教学中，学生常常会对概念、定理、推论中的条件以及其适用范围不甚了解，以致建立错误印象，应用问题频出。教师可以应用反例教学，深化学生对条件与使用范围的认知，减少学生失误。可以利用反例明细概念，可以利用反例明确定理与推论的适用范围。

关键字：反例；初中数学教学

所谓反例，是指与命题相反相左的例子。在初中数学教学中应用反例，是为了让学生对命题中的条件形成更加准确的了解，或者是针对学生的怀疑之处予以解惑。在数学学习时，因为思维的年龄局限性，学生常常会忽视命题中的一些条件或者是条件的适用范围，导致学生在应用命题时频发错误，应用反例，可以让学生对命题中的条件或条件的适用范围形成深刻的认知，在应用命题时付诸注意。在数学学习中，学生有时会对命题中的一些条件以及其适用范围的规定产生质疑，以之为锱铢必较，如果有反例的证明，学生便会对这些有了明确认知。此外，反例教学有利于打破学生的思维定势，发展学生的思维能力。因此，在教学中，教师需要巧妙应用反例。

一、利用反例明晰概念

在数学的教与学中，会遇到很多的概念，这些概念是抽象的、凝练的，想要处在抽象思维形成时期的初中学生准确掌握这些概念，教师必须在教学中予以条分缕析，否则，则会导致学生对概念的误读。针对概念中的条件举出反例，可以帮助学生识清概念。

以数轴为例，数轴的概念中规定了数轴成立的三个条件：一是原点，二是有方向，三是单位长度明确，不过这个单位长度不一定是1。为了让学生掌握着三个条件，教师可以举出不符合条件的反例，让学生判断是否是数轴，如图所示。

（1）

（2）

（3）

以上三个反例中，（1）没有任何一个条件，（2）缺少方向，（3）没有原点，所以这三个反例都不是数轴，通过这三个反例，学生对于数轴的条件会形成清楚地认知，在应用数轴解题时便不会缺斤少两。

在学习概念时，因为知识的负迁移，学生常常会混淆一些概念。如果教师仅仅依靠正例教学，学生恐怕永远都会是一知半解甚至一点不解，对于概念的掌握只会停留在片面的字句上。这时，教师需要大胆地摒弃正例，应用反例，引导学生认清概念的本质，避免学生混淆概念。

以无理数为例，无理数是在讲平方根和立方根时提到的概念，教材将其定义为无限不循环小数。然而，学生在判断时，常常忽视无限不循环这个概念，错把平方根和立方根当做是无理数。此时，教师可以举出一些反例，比如等，让学生判断是否是无理数，通过这些反例，学生便会认识到，不是所有的平方根或立方根都是无理数，也就是说，平方根或立方根并不是无理数的本质，无理数的本质是无限不循环的小数。

二、利用反例明确定理与推论的适用范围

真理之所以是真理，是因为其应用在一定的范围内，超出了范围的真理便是谬误，初中数学中的定理和推论也是如此，有着明确的应用范围。然而，在学生的学习中，却常常忽视应用范围，导致学生在做题时失分。教师可以应用反例进行教学，引起学生对定理和推论适用范围的重视，甚至让学生做题时第一时间要观察的便是应用范围是否满足。

以一元二次方程的实数根判别式为例，对于一元二次方程如果方程有实数根，则判别条件如果方程有两个不同的实数根，△>0。这里特别需要注意的是因为忽视这个条件，学生常常会陷入错误。此时教师可以举一些反例进行教学，比如，如果方程有两个实数根，求t的取值范围。一定会有很多学生根据题意得出从而求得。可是这个答案显然并不正确，因为当t=0时，方程只有一个实数根。此题的正确答案为。通过这个例子，学生便会对判别式中这个条件形成深刻的认知，毕竟，疏忽便是错误。

再以韦达定理为例，韦达定理中提到了方程的两个实数根与方程中常数的关系：，这个定理常常被用来求取由两根组成的关系式的值以及在高中应用在平面几何中，是一种较为便捷解题方式，但是韦达定理有一个适用范围，方程有两个不等实数根或者是函数与x轴有两个焦点。学生在使用韦达定理解题时，对于这个适用范围常常忽略，为了提醒学生注意，教师可以举一个反例：如果方程的两根为，求的取值范围。很多学生是这样解答此题的：19。乍一看条分缕析，合情合理，可是这并不是正确答案，如果我们把终点值19代入，即由此解得k=-5，再把k的值代入方程中，方程變为可是这个方程方程并没有实数根，与题意相违背。这道题学生错就错在没有将方程有两个不等的实数根考虑在内，即忽视了韦达定理的适用范围。其实，这道题的解答还要加上一个条件在k的这个范围内，也就是说。有此题可以看出忽视适用范围的过失之大，可谓是失之毫厘谬以千里。在这个反例的学习中，学生可以深刻认识到韦达定理适用范围的重要性，从而在自己应用时精益求精，强化正确率。

总而言之，初中数学教学需要应用反例，起正例教学难以匹敌的强调作用，让学生对概念、定理与推论的诸条件与适用范围形成清晰的认知，严谨学生的思维。在教学中，教师善于应用反例，可以提高教学效率，切忌，不能单纯为反例教学而硬造反例。

参考文献：

[1]黄海清.巧用反例妙处多——浅析初中数学教学中反例的运用[J].才智，2012（23）

[2]刘超.浅谈初中数学教学中反例教学的重要性[J].成功（教育），2011（16）