张港

[摘 要] 导数是微积分中的重要概念，几乎贯穿于整个数学分析的教学中。同时，导数在高中阶段也有相应的应用。利用导数，可以求解切线的方程、证明不等式、求解函数的极值和最值。因此，导数既是高中数学的重要知识点，也是高等数学的核心概念。

[关 键 词] 导数；函数；实践方程

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）13-0174-01

一、导数的来龙去脉

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应的函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在點x0处的导数记为f′（x0），也记作y′|x=x0或■|x=x0，即f′（x0）=■■=■■.导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如，在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

二、导数的应用

（一）利用导数求解曲线的切线方程

例1 求曲线y=xex-1在点（1，1）处的切线方程。

解：因为y′=（xex-1）′=ex-1+xex-1，所以y=xex-1在点（1，1）处的导数是y′|x=1=e1-1+e1-1=2，故曲线y=xex-1点（1，1）处的切线斜率是2，故曲线y=xex-1在点（1，1）处的切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1.

评注：利用导数求解曲线的切线方程的常规方法是：（1）求出所给函数的导数；（2）将曲线上某一点的横坐标带入导函数，求出导数值；利用点斜式求出切线方程。

（二）利用导数求函数的极值和最值

求函数的极值时，首先要判断函数在特定区间上的导数值得正负情况，导数值为正，函数在此区间上单调递增，导数值为负时，函数在此区间上单调递减，进而求出函数的极值情况。……