文︳张新春

整除性判断

文︳张新春

判断一个数能否被另一个数整除，最自然的办法就是作除法。但对于一些特殊的数，我们可以研究一些特别的判断方法。

小学数学教材中研究了2、5、3的倍数的特征。结论为：

（1）个位上是0、2、4、6、8的数，能被2整除；

（2）个位上是0、5的数，能被5整除；

（3）各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。

我们先来讨论结论（1）和结论（2），这两个结论可以概括地表达为：个位上的数字能被2或5整除，这个数就能被2或5整除。

事实上，对任意自然数N，都可以写成N=10k+ b的形式，其中k≥0，0≤b≤9。这里的b就是N的个位数字。

显然，由10=5×2知10能被2和5整除，从而10k能被2和5整除。于是，只要b能被2或5整除，N=10k+b就能被2或5整除。也就是说，看一个数能否被2或5整除，只需要看个位即可。

小学数学教材中，能被2整除的数的特征和能被5整除的数的特征通常是独立安排的。在教学中，我们可以通过实例，让学生体会这两个结论的统一性。如果在课堂中通过观察、猜测、验证、归纳等活动可以让学生知道能被2或5整除的数的特征“是什么”的话，对这种统一性的体会就是关注“为什么”。

对数学问题有某种程度的敏感的读者，应该注意到10=5×2对于上述结论的重要性。同时，会马上想到另外一个等式：100=25×4。这个等式是否告诉我们，要看一个数能否被4或25整除，只要看后两位即可呢？事实正好如此。写出一般的证明并不难，我们在此只举一个例子。比如，1784=17× 100+84，由于100能被4整除，所以17×100当然能被4整除，又因为84也能被4整除，于是可以作出结论：1784能被4整除。……