赵虎+杨小飞+李萍+杨海龙

摘要：本文为了便于读者对样本方差定义的理解，以正态分布为例，通过深层次分析，总结得出：在实际应用中，为什么样本方差的定义选取式子■■（X■-■）■，而不选取■■（X■-■）■的结论。

关键词：总体方差；样本方差；正态分布；无偏估计；一致估计

中图分类号：O21 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）33-0194-02

概率论与数理统计是高等学校理工科大学生的一门必修课。然而对于初学者来说，总觉得样本方差的定义不易掌握，且容易产生畏惧心理。到底是除以n还是n-1，大部分学生会感到很茫然。因此有必要弄清楚二者的区别。本文以正态分布为例，对样本方差的定义进行深层次的分析，以便初学者了解样本方差的定义。

一、预备知识

定义1 设X是一个随机变量，若E（|X|■）<∞，则称A■=E（X■）为X的K阶原点矩。当k=1，A■=E（X），恰好为X的期望。

定义2 设（X■，X■，…，X■）为总体X的一个样本，称统计量B■=■■X■■为样本的K阶原点矩。当k=1，

B■=■■X■=■，恰好为样本的均值。

定理1：设总体X～N（μ，σ2），若（X1，X2，…，Xn）为X的一个简单随机样本，X为样本均值，

S■■=■■（Xi-■）■，则■～x2（n-1）.

二、对样本方差定义的分析

设（X■，X■，…，X■）为总体X的一个样本，根据切比雪夫大数定理知，当总体X的K阶矩存在时，樣本的K阶矩依概率收敛于总体的K阶矩时，因此可以用样本的K阶矩近似总体的K阶矩。

当总体X的K阶矩存在时，若定义总体的方差

D（X）=A■-A■■=E（X■）-E（X）■，因此根据切比雪夫大数定理，样本的方差自然地可以定义为：

S■=B■-B■■

=■■X■■-■■X■■

=■■X■■-■■

=■■（X■-■）■.

所以，从理论上讲，样本的方差应该用

S■=■■（X■-■）■来表示。若设（x■，x■，…，x■）是样本

（X■，X■，…，X■）的一组观测值，c是任意常数，可以推出：

s■=■■（x■-■）■=■■（（x■-c）+（c-■））■

=■■（x■-c）■-（■-c）■≤■■（x■-c）■

（注意：这里的n去掉或者换成n-1不等式仍然成立）。这说明了只有当c=■时，才能取到最小值，即波动性最小，越有效。……