□ 李峰英

理清思维链，掌握知识本质
——对“长度、面积、体积概念”教学的思考

□ 李峰英

通过对“长度、面积、体积概念”系列课的教学思考，从依附于知识上的思维经验出发，帮助学生找到思维点，建好思维链，在“寻思来去”中，理清知识的来龙去脉，掌握知识的本质，尤为重要的是为数学思维方式找到它的源头和出口，走出一条数学思维的康庄大“道”。

长度 面积 体积 思维点 寻思来去

长度、面积和体积是小学数学知识的重要组成部分，它是图形与几何知识中一组最为基本的度量概念。小学数学教材一般将长度、面积和体积分别编排在不同的年级进行教学，这很好地分散了教学难点，但是教师在关注知识点教学的同时，往往容易忽视知识之间的内在联系。很多执教教师在这块内容的教学上存在一些问题：在建立长度、面积、体积表象的时候缺少累积的过程；在图形的认识中往往浮于表面而缺少图形认识的系统性；在图形变式和转化中缺少图形之间的内在沟通。基于这样的思考，笔者发现所有的问题都是缺少“寻思来去”的整体性思维所引起的连锁反应。下面谈一谈笔者在长度、面积、体积概念教学中的一些做法。

一、点动成线，逐层递进，顺应“思维点”

用集合的观点来看，线是点的集合，点是线的元素。小学数学中的线，有线段、射线、直线。其中线段是可以度量的。由于度量的需要，学生建立了长度单位的概念。小学阶段常用的长度单位有毫米、厘米、分米、米、千米等，在这个点动成线的过程中，其实就是长度单位不断累积的一个过程。

（一）累积，点聚集成线的“表象”

对于长度单位的教学，教材编排是在认识了厘米和米的基础上再认识毫米和分米的。厘米、米离生活比较近，便于学生掌握。因此在教学“毫米”的时候，有什么教学经验可以为我们所用的，是我们要寻找的一个教学起点。

【教学片段一】

在教学“毫米的认识”的引入部分，教师在课始可以进行这样的复习“累积”。

师：我们已经学过哪些长度单位？

生：米和厘米，1米=100厘米。

师：你能用笔画1米的长度吗？那1厘米有多长呢？放在尺上试试。

师：8厘米有多长呢？

生：8个这样的1厘米。

师：估一估这叠一角硬币的高度。先估一估再量一量：估计是8毫米。正确吗？假设是正确的，8毫米是什么意思？8个1毫米。用尺子找一找8毫米在哪里。

师：那1毫米在哪里呢？

师生一起发现：这样的硬币厚度是8毫米，看看硬币的数量，我们就知道：1枚硬币的厚度是1毫米。

教学是有计划的，毫米的认识可以运用厘米和米的教学时所用到的“点累积的表象”，在不断累积的过程中，我们理解了8毫米就是8个1毫米的累积，从而在接下来的教学中可以不断地衍生开去。其实，无论长度、面积、体积，所有的单位都是累积的过程。

（二）累积，线围成周长的“蜕变”

【教学片段二】

在教学长方形和正方形周长计算内容时，学生大多数都能快速地背诵和直接运用计算公式，但是在后续变式练习中学生思维中的不足才真正暴露出来。因此，我们将教学重点定位为“长方形周长计算公式的得出和应用”。

长方形正方形原生态的周长公________________ ___________ __________ __________ ______式简化过的周长公________________ _ ______式a+a+b+b a×2+b×2（a+b）×2__ ___ a+a+a+a (a+a)×2 a×4___ ___________一般四边_____________________________________ __________ ________________________________________形a+b+c+d同上

在对比中发现，其实周长公式（长+宽）×2和边长×4的方法分别是在计算周长的过程中对连加在计算上的一种优化。意识到长方形和正方形周长的计算公式是基于两种图形各自特征的简便计算方法。

二、线动成面，沟通对比，摸准“思维链”

（一）在说图形要素中，找到知识生长的“纽带”

在学习平面图形时，从长方形、正方形到平行四边形。教学这块知识都是与长方形教学相类似，教师可以引导学生整理思路（见下表）。

_图___ _形长方形从哪几个要素来研究_ _____边是4条边，对边相等，角是4个直角平行四边形边是4条边，对边平行且相等角是4个角，对角相等回一回思路_____边的数量，长短两个方面角的数量，大小_______边的数量，长短，互相之间的关系角的数量，大小，互相之间的关系__________

虽然只是简单地在知道图形组成的各个要素以后“回一回”思路，但这恰好是思维生长的开始。今后研究其他图形的时候，学生就知道图形可以从边和角两个方面进行研究，脑海里就不会是一片空白。

（二）在数格子中，发现图形夹角的“阴谋”

很多人以为，数学知识是规定的，不用讲道理。其实数学是最需要讲道理的。长方形和平行四边形的面积到底为什么会不一样？其实这里就有夹角的“阴谋”。即四边形面积的大小跟相邻两边的夹角是有关系的。

【教学片段三】

环节一：数一数，笔者认为在数的过程中忌讳一句话“把不足一个的按半个计算”，这样会降低了学生的思维含量，对学生的思维发展没有好处。改为如下补一补和剪拼会有益于学生思维的发展。

（补一补）

（剪拼）

环节二：验一验，此时再用拉一拉的方法回顾感受，发现的确是相邻两边的夹角对图形面积的大小有如此大的影响。

学习长方形面积时用数格子的方法，因此在学习平行四边形面积时学生为了数清楚，会自主地通过多种方法数出图形的面积单位的数量。在转化后，学生很快知道一排有几个是不会变化的，排数不会变化，它们的乘积是最终的面积。这样自然而然就用到底乘高的方法了。然后在环节二比较长方形与平行四边形的异同中发现，原来最大的“阴谋”就是相邻两边的夹角不同，长方形面积之所以长乘宽，那是因为它四个角都是直角，面积单位的排数就是它的宽度，长方形是特殊的平行四边形。

（三）在搭框架中，明晰图形的异同点

孔凡哲教授指出：教学要暴露数学思维过程，重视数学知识的发生和发展过程，把数学知识的教学变成数学活动和思维活动的教学，在活动中明晰图形的异同点。

【教学片段四】

师：平行四边形、正方形、长方形又有怎样的联系呢？接下来我们一起来梳理一下。

师出示几组小棒：

5厘米（3根），8厘米（4根），10厘米（2根），12厘米（1根）

经过小组活动后，学生反馈如下表：

__________ ________ ______________ _______________长方形平行四边形小棒选择1正方形_______________________________ 8cm 8cm 8cm __________ _______ ______________ ________________ ________8cm 10cm 10cm 8cm 8cm 10cm 10cm 8cm 8cm小棒__选择2小棒__选择3小棒__选_____ ________ ______________ ___择4共几个不同图形无无无1个10cm 10cm 5cm_________ ___ 5cm 8cm 8cm 5cm_________ ___ 5cm无3个搭的原因4根一样长2组小棒，每组2根长度相等10cm 10cm 5cm___________ _5cm 8cm 8cm 5cm__________5cm 8cm 8cm 8cm__________8cm 4个能搭长方形和正方形的都可以搭平行四边形_____

在选择、辨别中发现平行四边形与正方形和长方形边的关系，在操作和思考中，学生的数学敏感度得到了提升，可以很好地沟通图形之间的关系，韦恩图牢牢刻在了脑海中。

三、面动成体，聚焦本质，提升“思维质”

在小学阶段，认识长方体、正方体主要分两个阶段：一是一年级初步认识立体图形，包括认识长方体、正方体；二是五年级“正式”认识长方体、正方体。笔者从五年级下册的长方体、正方体说起。该节课是小学高段立体图形的起始课。

（一）拉长知识长度，学到更多的知识经验

在此之前，学生已经学习了长方形、正方形、一般四边形的周长计算公式推导的思路，教师可以把它延伸到求立体图形中来，发现其相似的地方。

正方体______ ____________ ____ __（最特殊）表面积公_______ ___________ __________________ ____________ _式1个面×6有2个面是正方形的长方体_____ ____ 2个相同的面+另外4个相同的面最一般的长方体____上下面+左右面+前后面

长方体和正方体表面积的计算依旧是由图形的特殊想到计算方法的特殊，由图形的一般想到计算方法的一般。

（二）拓宽知识宽度，找到更广的知识联系

长方体的体积教学是第一次接触体积，教学过程会比较严实，用体积单位去测量，逐渐引导到不用测量推导出计算公式。在学习圆柱体中，我们发现圆柱体的上下两个底是圆形。回想到求圆的面积我们用剪拼的方法，那么圆柱体可不可以剪拼呢？这种化曲为直的思想方法可以得到再次应用。

【教学片段五】

圆柱体转化成长方体后，长、宽、高分别对应原来圆柱体的哪一部分？生观察、讨论后回答。

师追问：圆柱体转化成长方体后，体积变了吗？表面积呢？借助模型生找到了圆柱体底面和侧面所对应的长方体的部分。师追问：“为什么表面积会变大？”从而推导出长方体的底面周长>圆柱体底面周长，即长方体的底面周长＝圆柱体底面周长＋2r；长方体的表面积>圆柱体的表面积，即长方体的表面积＝圆柱体的表面积＋2rh。引导学生再次经历了体积转化的过程，并理顺了与表面积的关系。

本节练习课是对圆转化为长方形的进一步教学，有相同点又有不同点，在比较分析中，拓宽知识宽度，找到更广的知识联系，感受到知识在不断地螺旋上升。

（三）提拔知识高度，摘到更大的知识果子

在学习立体图形的体积公式时，我们不妨试着来进行适当的拓展，提拔知识高度，摘到更大的知识果子。

【教学片段六】

你能求出右图这个三棱柱的体积吗？

回顾中发现：正方体的体积=底面积×高，长方体的体积=底面积×高，圆柱体的体积=底面积×高，以此类推，V=SH，文字公式：体积＝底面积×高，用不完全归纳法得出：凡是直柱体，体积都是底面积×高。

在探究的过程中，学生在不断地“寻思来去”找出知识间的内在联系，把所学知识串联起来，建立一个较为完整的知识系统，从而激活知识，激发思维，激励情感。

综上所述，在“寻思来去”的教学中，学生既知道了知识的出处，又了解了知识的去向。在数学学习中既获得了知识，体会了学习的乐趣，又培养了主动获取知识的能力，感受到来自于数学本身的感动，最重要的是学生在今后碰到新问题的时候，主动地“寻思来去”探索一条学习之路。

[1]朱向明.小学数学基本活动经验形成的案例研究[J].新课程研究，2013.

[2]朱乐平.图形与几何系列[M].北京：教育科学出版社，2014.

（浙江省宁波市北仑区蔚斗小学 315000）