□ 郑毓信

专家特稿

什么样的数学教学要不得？（一）
——为小学低年级数学教师而作

□ 郑毓信

编者按

对于“什么样的数学教学要不得”这一问题的思考，不仅有利于实际教学工作的改进，也能有效地检验一下这些年的课改实践效果。特别是对于低年级的数学教师而言，在教学中采用什么样的教学方法、选择什么样的考核方式，等等这些都会影响学生今后的学习和成长。对此，本刊特邀请南京大学郑毓信教授来为我们做一个深入地分析。欢迎各位教师对于“什么样的数学教学要不得”这一话题能结合自身的案例教学展开分析和探讨。

对于“什么样的数学教学要不得”这一问题的思考，不仅有利于实际教学工作的改进，也能实际地检验一下经过这些年的课改实践我们在基本的理论思想上究竟有了多大提高，它也是广大教育工作者能否真正做好自身工作的根本保证。就低年级而言，在教学中，应当坚守“过度的规范要不得、美国式的数学教学要不得、不讲道理的‘简易算法’要不得、过分注重‘速度’的考核要不得”等原则，才能切实防止由于不适当的教学方法、教学内容与考核方式对学生的成长造成的严重的消极影响。广大一线教师应当结合自己的教学对于上述论题做出进一步的分析总结，不仅要关注“什么样的数学教学要不得？”也要思考包括“我们究竟应当如何去进行数学数学？”

低年级 数学教学 要不得

“什么样的数学教学要不得？”这一问题对于大多数经历过新一轮课程改革全过程的教师来说并不陌生，因为对于基础教育传统教学方式包括数学教学方式的否定，正是课改初期十分普遍的一个说法，一些人士更是提出过某些极端性的言论，尽管其所依据只是少数案例以及若干“专家”的“即兴式诊断”，比如“这是我们行之已久的认为很高水平的课，但就是这样的课，是需要根本上变革的”“我们的基础教育是过时的、落后的，需要做重大改革”“全国1300万教师需要改变教育方式，3亿学生需要改变学习方法，6亿以上的家长需要改变帮助孩子学习的做法”等。（王宏甲，《新教育风暴》，北京出版社，2004）从现今的角度看，上述言论只能说起到了混淆视听的作用，但我们显然又不应因此而否定深入思考“什么样的数学教学要不得”这一问题的重要性，而应更加强调实事求是、以理服人这样一个原则。另外，在笔者看来，这也正是在今天重新开展这一方面思考的一个很大优点，不仅有利于实际教学工作的改进，也能实际地检验一下经过这些年的课改实践我们在基本的理论思想上究竟有了多大提高，而这当然又应被看成广大教育工作者能否真正做好自身工作的根本保证。

正是基于这样的思考，笔者就十分希望广大一线教师也能对以下实例包括笔者的分析提出自己的看法，包括举出这方面的更多教学实例以有利于人们认识的进一步发展和深化。

以下的实例将集中于小学低年级的教学，希望能有助于破除这样一个认识误区：小学低年级的数学教学没有多大问题，从而也就根本认识不到进一步前进的方向。希望这一论题也能引起读者的普遍重视。

一、过度的规范要不得

稍有经验的教师都知道，对于刚刚离开幼儿园或从未接受过幼儿园教育的一年级小学生而言，教师必须帮助他们尽快地适应学校的正规学习生活，特别是尽快养成自觉遵守各种规章制度的良好习惯；也正如此，小学一年级无论哪个学科都必须十分重视教学的规范性，应当在各个方面对学生提出明确的要求；但是，相关教学是否也应具有一定的开放性？大多数人对此都会持肯定的态度，因为，我们不希望学生从一年级起就变成被驯服的小绵羊。从而，这里的关键就在于我们究竟应当如何去处理教学的规范性与开放性之间的关系。以下就通过实例提出若干问题供读者分析和思考，而这事实上也可被看成一线教师如何结合自己的教学积极开展教学研究的实例。

[例1]阿拉伯数字的写法。

阿拉伯数字的写法是否应当严格地加以规范，乃至明确提出“4必须是‘开口的’”“8必须是‘封口的’”这样一些要求，并让学生严格地遵守？

[例2]“两步计算题”的书写方式。

我们在教学中是否应当提出这样的要求：“两步计算题”必须清楚写明相应的过程，包括先算什么？所得出的结果又是什么？书写方式也必须符合一定的规范，如学生必须用直尺画出表示“第一次计算”的短线，得出的中间结果也必须清清楚楚地写在下边。如：

笔者之所以认为这两个例子比较简单，主要是相信大多数读者对于上述问题都会有较一致的看法。对此，由以下的事实就可清楚地看出：随着学习活动的深入，肯定不会有教师始终坚持上述的要求。但是，在此仍然存在这样的问题：我们究竟应当如何去掌握相关的“度”？什么又是“放松要求”的适当时机？

相对而言，对于以下问题人们或许就会有更多的不同看法。

[例3]依据图形写出相应的计算式：

进而，如果不了解相关的教学情境，相信有不少人特别是很多家长都会觉得以下的“标准答案”令人难以接受：

以下就是相关的“教学情境”：就图形（1）而言，当时教的只是加法，还没有正式引入减法；图形（2）则是正式教了减法以后布置的练习题。

但是，如果从较抽象的角度去分析，这两个图形所反映的难道不是同一个数量关系吗？进而，我们在教学中究竟是要求学生严格按照教师或教材指引的路径去进行思考，还是应当更加提倡学生的独立思考？更具体地说，这也就是指，我们在此究竟应当致力于引导学生严格按照指定的算法（加法或减法）去把握数量间的关系，还是应当集中于数量关系本身的认识与分析，包括在计算方法与计算次序等方面保持一定的开放性？

由于缺乏实际教学经验，对于上述问题笔者就无从提供明确的解答，但这又正是笔者在这方面的基本想法：即使是一年级的数学教学，也应有一定的开放性。就上述的实例而言，笔者希望广大一线教师能够联系自己的教学实践深入地去思考这样一些问题。

第一，上述的两个问题是否都可被看成所谓的“开放题”？或者说，我们是否应当只是在从事“开放题”的专门教学时才想到教学的开放性，还是应当将一定程度的开放性看成数学教学应当始终坚持的一种品质？当然，这又是这方面更为基本的一个问题，即我们究竟应当如何去理解数学教学的“开放性”？

第二，这正是“算术思维”与“代数思维”的一个重要区别：前者主要集中于计算方法，后者则更加强调数量关系的分析（这两者可被看成分别体现了所谓的“操作性观念”和“结构性观念”）；进而，又由于这可被看成小学数学教学改革的一个重要方向，即我们应当积极提倡“代数思维”在算术教学中的渗透（对此可见另文“高观点指导下的小学数学教学”，《小学数学教育》，2014年12期），因此，我们在此也就可以提出这样的问题：上述的“错误做法”是否被看成“代数思维”（或“结构性观念”）的具体体现，从而我们在教学中也就应当予以适度的容忍乃至一定的肯定？

但是，上述主张对于一年级教学而言是否要求过高了？为了帮助读者进行思考，在此可以改换一下问题的表述方法：上述不同的做法事实上也可被看成涉及了思维的不同方向，特别是“减法”的教学在很大程度上即可被看成学生学习“逆向思维”的实际开端，但就上述的图形（2）而言，写出“5+4= 9”（而非“9–4=5”）难道不是更加接近人们的“日常思维”（“顺向思维”）吗？进而，从发展的角度看，这又正是学生在“方程”的学习过程中所必须经历的又一次重要的思维方式的转变，即是由“逆向思维”重新转回“顺向思维”（这方面的一个实例可见刘燕的“‘方程的意义’教学实录”，《小学教学》，2016年第10期），那么，一年级的教学是否也就应当给所说的“第二次转变”留下足够的回转余地呢？更一般地说，这显然也就直接涉及这样一个问题：我们究竟应当如何去认识与把握数学教学的“规范性”？

在完成了上述的思考以后，建议读者还可用以下实例检验一下自己的思想深度，我们是否应当将题后所列出的“学生做法”都看成是必须纠正的？

[例4]填空：

最后，笔者再次表达这样一个愿望：希望上面的分析能够引发读者的思考，包括联系自己的教学实践举出更多的实例和问题。我们应当努力做到“小中见大”，不应“就事论事”地去进行总结与反思，而应从更一般的角度进行分析思考，从而对新的教学活动发挥更大的启示或促进作用。

二、美国式的数学教学要不得

《小学数学的掌握与教学》（华东师范大学出版社，2011）是中国旅美学者马立平博士撰写的一部数学教育名著，其中对中美两国的小学数学教育，特别是课堂教学的现实情况进行了深入的比较研究。按照这一著作，以下就是美国小学数学课堂中经常可以看到的一种现象（她称为“过程式教学”）：教师首先指明今天要学习的内容，如“多位数的乘法”，然后就通过直接示范告诉学生应当如何去做，而学生所要做的就是牢固记忆与简单模仿，对于隐藏在具体算法背后的算理则完全不用理会。另外，甚至还有相当一部分美国小学数学教师其本身也未能真正弄清这些算法背后的算理，从而自然也就不可能在课堂上很好地去讲清道理，帮助学生真正实现“理解学习”（就算法的掌握而言，也即真正做到“寓理于算”）。

以下就是这一著作中直接引用的几位美国小学数学教师面对“为什么可以按照指定的算法从事多位数的乘法”所给出的解答（第29页）：“那很困难……因为你经常这么做……这是公认的法则……我的意思是，这是别人教我们做的方法。”（Fay女士）“因为这是正确的做法。这是我所学到的做法。这是对的。”（Fiona女士）“我不记得这个法则，我不记得为什么要这么做。就像当初别人教我那样，你就这么做。”（Felice女士）

当然，这又正是这一著作更为重要的一个论点，即是中美两国小学数学教学就总体而言存在的十分重要的区别。例如，就上面所提到的“多位数的乘法”而言，中国绝大多数小学数学教师所采取的都是“概念式教学”，从而也就与美国的情况构成了明显的对照。但是，笔者在此所要提出的却是这样一个问题：在中国是否也会看到所说的“美国式教学”？

以下就是一个真实的课例。

[例5]“多位数除以一位数”与“机械教学”。

这是“两、三位数除以一位数”教学的一个中间环节，主要涉及“首位或中位有余数”的情况。以下则是相关教材（苏教版三年级上册第58页）中所提到的一个实例。

一位教师在课堂上采取了如下的教学方法：她首先在黑板上演示了正确的算法，包括一边做一边对相关的计算步骤做出具体说明：“7除2等于3，2乘3等于6，7减6等于1；将3移下来得到13，13除2等于6，2乘6等于12，13减12等于1，将8移下来得到18，18除2等于9，所以，最终的答数是369。”然后，教师又要求全班跟着她大声地重复上述的解题步骤，再过渡到由个别学生在全班进行重复，包括由学生自动报名以及由教师直接指定学生等，教师则有针对性地加以评价，包括表扬与细节的逐一纠正等，直至最终全班至少是大多数学生都能正确地加以复述，因而从形式上看似乎也就已经较好地掌握了相应的算法。

你在现实中是否也曾见到过这样的教学方法？或是也曾采用过这样的教学方法？当然，这里的关键不在于这种方法究竟应当被归属于“美国式”还是“中国式”，而是这种方法究竟有什么问题或不足之处？希望每一个读者都能首先对此做出认真的思考。

笔者的看法是：这样的教学方法不可取！因为，采用这一教学方法必然地会造成严重的后果。对此可以首先联系数学教育的基本目标来进行分析。

正如人们普遍了解的，随着新一轮课程改革的深入，人们已经形成了这样的共识：数学教学绝不应停留于“动手”，而应引导学生由单纯“动手”转向积极的“动脑”，因为，这直接关系到数学教育的基本目标，即是我们应当通过自己的教学促进学生积极地去进行思维，并能通过数学学习逐步学会思维。

显然，从上述角度去分析，对于上述实例我们也就可以提出这样的责疑：尽管其中所涉及的主要是“动嘴”而不是“动手”，但是，我们显然也不应因此而忽视了如何能够促使学生积极地去进行思考。

更具体地说，由于“问题引领”即可被看成教师如何引导学生积极进行思维的关键，因此，“问题”的缺失显然就可被看成上述教学活动十分明显的一个弊病。例如，面对“首位或中位有余数”这一新的情况，我们就应首先引导学生具体地去分析是什么原因造成这一情况发生的。进而，我们又如何应用已有的知识和经验去解决所面对的问题？等等。

更一般地说，笔者以为，上述的实例也可被看成十分清楚地表明了明确提倡“三维目标”的重要性，因为，如果单纯从知识层面特别是依据书面考试的成绩去进行分析，我们恐怕很难发现上述的教学方法究竟会造成怎样的后果。但这恰又是我们在此应当特别强调的一点：如果完全忽视了促进学生思维的发展这样一个基本目标，这样的数学教学就应被看成是完全失败的！

其次，上述关于“问题引领”的分析显然也已清楚地表明了这样一点：要促进学生积极地进行思维，必然要求我们在教学中更多地采取学生主动探究和合作互动等教学方式，这也就不能不说是上述教学活动的又一不足之处，即没有给学生的主动探究与合作互动留下任何的空间；更甚至，由于学生始终只是忙于记忆与复述，也就根本没有任何可能展示自己真实的思维活动，因而相关的教学活动也就不可能具有任何的针对性。

当然，除去从教学方法的角度进行分析以外，我们在此还应考虑到这样一个更为基本的问题，即我们应当如何去落实学生在学习活动中的主体地位，因为，如果我们的学生始终处于完全被动的地位，那么，即使就数学知识的掌握而言，也会造成十分严重的后果，包括学生的两极分化。后者即是指，除非学生具有较高的天赋或是有较好的辅导环境，一般学生应当说都很难沿着“机械学习”的道路走得很远，而是迟早都会成为数学学习的失败者，而这当然又会对他们的整个人生产生严重的消极影响。例如，正是从后一角度去分析，美国著名数学教育家戴维斯就曾明确指出，我们的数学教育已接近于毁灭年轻的一代！

由以下的分析我们即可更好地理解“学生为什么很难沿着‘机械学习’的道路走得很远”：如前所述，死记硬背与简单模仿正是“机械学习”的主要特征，但是，硬记的东西容易忘记，再需要时往往也不能通过主体自身的努力得到“重构”，再则，简单的记忆和模仿显然也不足以保证所习得的“知识”具有可迁移性，从而事实上就只能被看成是一种简单的技能，而非真正的知识。

在此还应看到这样一种严重的后果：一旦我们习惯了机械的学习方法，往往就会在不知不觉之中形成一些错误的观念，即如“学习数学的方法就是记忆和模仿，你不用去理解，也不可能真正搞懂”“没有学过的东西就不可能懂，学生的职责就是‘接受’，老师的职责则是‘给予’”……显然，这些必然会对学生未来的学习产生严重的消极影响。

由以下的实例可以看出，上述的分析实非言过其实：尽管已经学过了如何求解“首位（百位）有余数”的问题，在面对如何求解“中位（十位）有余数”的问题时，一个学生仍然不知道如何去做，还振振有词地说：“这个老师还没有教，当然不会做！”

再者，由上面的介绍我们显然也可立即联想到相关的教学还有这样一个弊病：由于语言活动也即逐一地重复应当实施的各个具体步骤，必然占据了很多的教学时间，因此，教师在课堂上就没有时间去处理更多的重要问题，特别是如何帮助学生做到真正的理解，又如何能以所接触的例题为背景，通过不同例子的比较与相关方法的应用很好地去掌握相关的基本技能，乃至放手让学生自由地去进行探究，从而发现各种可能的计算方法，并能通过积极互动最终达到更大的思维深度。

最后，上述的分析显然也为我们应当如何去从事这一内容的教学提供了直接启示。具体地说，除去所已提到的“问题引领”以及积极采取“学生主动探究”与“合作互动”等教学方法以外，我们在此又应特别强调这样一点，即是教师应当自觉地应用“联系的观点”去指导这一内容的教学。

具体地说，这首先就是指除法与乘法的联系，因为这不仅直接关系到相关算法的本质，也有助于学生相对独立地去发现相关的算法，即是我们如何能够用“乘法口诀”去解决“除法”的问题。其次，这也十分有利于学生对于相关算法的很好掌握，如乘除法的竖式计算有什么不同，“从末位开始”与“从首位开始”，“进位”与“退位”，等等；当然，在这两者之间也有很多的共同点，例如，无论就乘法或是除法而言，不同数位上的数的算法都与个位数的算法完全一样（这并可被看成所谓的“多单位概念结构”的集中反映）。再者，又无论所涉及的是“进位”还是“退位”，“位值制”都可被看成它们的共同基础。最后，由于所谓的“举三反一”和“举一反三”即可被看成相关的教学能否帮助学生真正做到“理解学习”的关键，这显然也就更为清楚地表明了用“联系的观点”指导这一内容的教学的重要性，这也就是指，我们既应通过众多实例的比较帮助学生很好地实现相关的抽象，也即方法的“模式化”，而且还应通过适当的变化帮助学生逐步学会如何能将所说的模式或方法应用于新的不同的场合或对象。

在此我们还应特别强调这一研究的普遍意义：这清楚地表明小学数学教学应当特别重视算法与算理学习的很好结合，真正做到“寓理于算”。用更为通俗的语言来说，这也就是指，我们不仅要教会学生如何去算，也应帮助他们很好地了解为什么可以这样算，乃至能够对此作出清楚的表述。

（未完下期待续，敬请期待）

（南京大学哲学系 210093）