王 泳

(合肥师范学院 数学与统计学院，安徽 合肥 230061)



p-Kirchhoff系统周期解的存在性

王 泳

(合肥师范学院 数学与统计学院，安徽 合肥 230061)

使用变分法研究了p-Kirchhoff系统的周期边值问题．首先定义p-Kirchhoff系统的弱周期解；其次给出了一些引理；然后用变分法中的极小极大方法得到一个关于p-Kirchhoff系统弱周期解的存在性定理；最后讨论了p-Kirchhoff系统的相关问题．本文使用的主要方法是变分法中的环绕定理。

周期解；p-Kirchhoff系统；临界点理论；Sobolev不等式

1 引言及主要结果

在文献[1-3]中，一些学者研究了p-Kirchhoff方程的Dirichlet问题

解的存在性．p-Kirchhoff方程问题来自于物理学中的梁振动方程

它是弹性力学中的方程[1-3]．在一些文献中，研究了Kirchhoff方程的Dirichlet问题

解的存在性[4]．在Kirchhoff方程Dirichlet问题的基础上, 在一些文献中讨论了推广方程，即p-Kirchhoff方程Dirichlet问题[1-3]．在文献[5]中, 研究了p-Kirchhoff方程的Neumann问题

解的存在性．对于p-Kirchhoff系统

的周期解的研究还不多．

本文讨论p-Kirchhoff系统

(1)

其范数如下：

p-Kirchhoff系统也是p-laplace系统

的推广；并且当p-Kirchhoff系统(1)中α=1,β=0时，p-Kirchhoff系统就是p-laplace系统．对于p-laplace系统，临界点理论是研究p-laplace系统的重要方法[7-8]．

关于p-laplace系统有如下结论：

定理1.2[8]如果F(t,x)满足以下条件

(H1)F(t,x)满足条件(A)；

则p-laplace系统

有一个周期解．

应用文献[8]中的环绕方法可以得到p-Kirchhoff系统周期解的存在性．本文的结论是：

定理1.3 如果F(t,x)满足以下条件

(V1)F(t,x)满足条件(A)；

(2)

成立；

(3)

成立；

(4)

则p-Kirchhoff系统(1)存在一个弱周期解．

2 一些定义和引理

引理2.2[9]如果F(t,x)满足下列条件

(B1)F(t,x)满足条件(A)；

F(t,x)→+；

引理2.3[9]如果F(t,x)满足以下条件

(D1)F(t,x)满足条件(A)；

则存在实值函数g1∈L1(E)和G∈C(RN,R)，满足

(I1)对于任意的x∈RN，y∈RN，

(5)

(6)

(I3)对于任意的x∈RN，

(7)

(I4)对于任意的x∈RN和几乎所有的……