安徽滁州中学(239000) 王圣 李伟健

抓住概念核心 直击问题本质

安徽滁州中学(239000) 王圣 李伟健

从历年的广东高考试题以及全国新课标卷,我们可以发现,二面角问题是命题者青睐的一个命制点,能较好的考察线线,线面,面面之间平行垂直的相互转化,通过严密推理,能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、基本运算能力及转化与化归思想等.本文以2014年的广东高考试题第18题为例,从二面角定义的本质入手,运用不同的运算方式和工具,对二面角进行深入的研究.

试题再现如图1,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE//CD,交PD于点E.

(1)证明:CF⊥平面ADF;

(2)求二面角D−AF−E的余弦值.

方法一利用二面角定义作出二面角平面角.

图1

图2

图3

事实上,本方法主要从二面角的定义入手,思维入手相对较易,笔者为了节省篇幅,对于△HGD中的几条边长的计算步骤省略,但计算量相对较大,在短时间内完成不是一件很容易的事情.

方法二利用三垂线定理作出二面角平面角.

如图4过点E作EM垂直于DF交DF于点M,过点M作MN垂直于AF交AF于点N,连接EN,在Rt△DEF中,

图4

图5

图6

方法三:依据面积投影求二面角平面角

命题已知平面β内一个多边形的面积为S,它在平面α内的射影图形的面积为S′,平面α和平面β所成的二面角的大小为θ,则

图7

本方法的本质事实上仍然是二面角定义的本身,只是形式上作了变形,有兴趣的读者可以对上述命题加以证明.

方法四:依据等体积转化思想求出“虚拟垂线段”长度,进而求出二面角

如图8过点D作DG垂直AF交AF于点G.假设点D在平面AEF上的投影为H,则DH为“虚拟高”,由等体积可得:

图8

方法五:利用三面角公式求解二面角平面角的大小

图9

图10

先介绍一下三面角公式.如图9,P−ABC为一个三面角,∠APB=α1,∠APC=α2,∠BPC=α3,二面角B−AP−C的大小为α,即可得在图10中

三面角的相关问题简单,容易理解,有兴趣的同学可以加以证明.

方法六:建立空间直角坐标系,利用坐标向量解决二面角问题

设n=(x1,y1,z1)是平面DAF中的一个方向量,则有:

图11

图12

这是现行课程标准向量体系下,各级各类考试在考察二面角知识点时采用的通解,求解简洁大方,学生可以模仿,对思维层面的要求降低了很多,对于知识点本身考察还是有所欠缺的.事实上,高中向量的知识结构我们完全可以考虑从其他角度切入.

方法七:结合定义,利用垂直,共线的定义求解向量坐标.

向量工具可以从很多的角度切入,在方法七中,主要使用了向量垂直,共面等相关工具,有别于教材上提供的通法.

方法八:利用复合向量的运算来计算二面角的大小

如图12,无需建立空间直角坐标系即可,

方法九:利用基向量法二面角D−AF−E的余弦值

当空间直角坐标系建立比较困难的时候,可以考虑选取空间的一组基向量,从基底的角度去分析法向量相关问题.

图13

令x=1得y=−1即可得:n1=a−b,设n2是平面EAF的一个法向量,同理可得:n2=4a+3c.

当空间直角坐标系不方便建立的时候,可以考虑方法七及方法八,需要充分需找条件中的长度,以及构造向量的夹角.