福建省惠安第三中学(362100) 江志杰

福建省惠安高级中学(362100) 庄惠平

基于直观想象化解不等式成立问题*

福建省惠安第三中学(362100) 江志杰

福建省惠安高级中学(362100) 庄惠平

含参数的不等式成立问题一直是高考和高三质检的热点素材,题型千变万化、解法精彩纷呈,其中最常规的解法就是分离参数法或构造差函数求最值.然而,对于求解某些含参数的超越不等式成立问题,传统的解法显得繁杂受阻或者抽象费解,难于把握解决问题的关键命脉.为此,笔者拟通过若干高考典例的分析探讨,谈谈数形结合思想在某些不等式成立问题中的展现和运用.

一、转为直线与曲线的位置关系

很多含参数的超越不等式成立问题中,往往蕴含着直线与曲线的位置关系,我们若能从中分离或挖掘出目标函数与特征直线,则从数形结合的角度进行探析,无疑显得更为形象直观、简便快捷!

例1. (2013年全国高考(课标I)理 11)已知函数若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )

A.(∞,0] B.(−∞,1] C.[2,1] D.[−2,0]

解析本题貌属含参数的不等式恒成立问题,但若用传统的分离参数法或构造差函数求最值,反而更棘手!关键应发现不等式右边是一次函数,研究该不等式恒成立问题,实则分析函数y=|f(x)|的图像与直线y=ax的位置关系(如图1),利用导数知识求得左侧曲线在原点处的切线斜率为−2,依题意得到a∈[−2,0],故答案选D.

例2. (2015年全国新课标I卷理12)设函数f(x)=ex(2x−1)−ax+a,其中a＜1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)＜0,则a的取值范围是( )

图1

解析解决本题的关键是要注意到:函数f(x)是……