广州大学附属中学(510006) 吴坚

双变量不等式求参数问题的解题策略

广州大学附属中学(510006) 吴坚

不等式求参数问题是函数与导数知识在高考中考查的常见命题形式,基本模型为F(x,a)≥G(x,a)(或变形为ψ(x,a)≥0),不少文章都对该类问题的解题方法进行过梳理与总结,本文不再赘述.事实上,在不等式求参数问题中还有一类关于双变量不等式求参数问题,在高考中也不时出现,比如2015年全国II卷第(21)题,该类问题在高三复习备考中并没有引起足够的重视,关于此类的文章亦不多.

作者梳理了2004年到2016年全国各地的高考试卷,将双变量不等式求参数问题的解题策略整理归纳为“一个模型”,“两类关系和状态”,“四种转化”和“两大思想”.

一、一个模型即基本模型为ψ(x1,x2,a)≥ 0或F(x1,x2,a)≥G(x1,x2,a).

二、两类关系指双变量x1,x2是否具有等量关系.如果存在等量关系,则通过消元代换将二元不等式转化为一元不等式;如果不存在等量关系,则观察双变量不等式的特征,判断是否可以通过作商或作和x1+x2、整体代换的方法将二元不等式转化为一元不等式.

例1.(2004年重庆)设函数f(x)=x(x−1)(x−a),a＞1.

(1)求导数f′(x);并证明f(x)有两个不同的极值点x1,x2;

(2)若不等式f(x1)+f(x2)≤0成立,求a的取值范围.

分析(1)略;(2)根据条件,对方程f′(x)=0应用韦达定理得出进而通过对恒等变形,代换整理化简得到2a2−5a+2≥0,最终求得a的取值范围.这一处理技巧还应用在2014年湖南卷第22题中.

如果双变量x1,x2的取值不存在等量关系,请看下例.

例2. (2010湖南理数)已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).

(I)证明:当x≥0时,f(x)6(x+c)2;

(II)若对满足题设条件的任意b,c,不等……