吕莲花

摘要：本文涵盖了初中三年多个教学中的知识点，多种初中数学学习的数学方法和思想。在初三复习时是一个举一反三的例题，也是教师对初中教学研究的一个参考。

关键词：初中数学；教学研究

一、生活中小数学：

如图①在一条河流的两侧，有两个村庄，现在需要在河边修建一送水站P，使得送水站到两个村庄的距离和最短，求P点的位置？（河流宽度忽略不计）

解决办法：如图②连接AB两点，交l与点P，P为所求。

此题是在学习过沪科版第4章《直线与角》中4.2线段、射线、直线后，直接利用了 “两点之间、线段最短”这个知识点应用到图形中，即可得出作法。七年级学生在刚接触线段的相关定理时也可以很轻松的完成此题。

等到八年级上册学习过第15章《轴对称图形和等腰三角形》中的15.1轴对称图形后，可将题目变形为：

二、与函数的联系应用：

沪科版八年级上册还学习了第11章《平面直角坐标系》，第12章《一次函数》，这两章是学生第一次接触、学习函数，也是对数形结合能力的重要考察。将上面的问题直接应用到平面直角坐标系中，将图形和函数结合，即可变形为数形结合题：

3、如图⑤，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（8，8），你能在x轴上找到一点P，使得PA+PB的值最小吗？求出点P的坐标。

此时，可以将x轴看做是河流l，直接应用第2题的结论，就可以通过作图的方式找出点P：如图⑥，点A（0，2）关于x轴的对称点是A（0，-2），连接AB，与x轴的交点就是点P。

在第2题的情境下，是无法得出有关点P的代数内容，但是将情境改在平面直角坐标系中，AB也就可以看做是一个一次函数，只要求解出一次函数解析式，再求解出一次函数与x轴的交点既可以求出点P的坐标。解题过程如下：

解：设 ，经过A（0，-2），B（8，8）得：

解得：

∴

当 时， ，解得：

∴P

此题除了考察了“两点之间、线段最短”、“轴对称性质”，还使用了“待定系数法求一次函数解析式”、“一次函数性质”等知识点，使用了转化、数形结合等思想综合解决问题。

三、与根与系数的关系的联系应用：

圆与直线的交点可以分为三种情况：两个交点；一个交点；没有交点，正如代数知识中的一元二次方程，可以有：两个不相等的根；两个相等的根；没有实数根，所以上题可以继续变形为：

7、如图⑨，在线段CD上找一点P，使得点△PAC和△PBD相似，请问当l，m，n满足什么条件时，这样的点有1个？有2个？有3个？（ ）

首先还是需要分类讨论：△PAC和△PBD相似可以理解为：（1）△PAC∽△PBD；（2）△PAC∽△BPD；

如图?，设CP= ，则PD= ，∵∠ACP=∠PDB=90°，

（1）当 时，△PAC∽△PBD

即： ，

解得： （ ）

（2）当 时，△PAC∽△BPD

即： ，化简得：

∴当 时，有两个不相等的解；

当 时，有两个相等的解；

当 时，无实数解；

综合上面两种情况，可得：

當 时，有3个点，使得点△PAC和△PBD相似；

当 时，有2个点，使得点△PAC和△PBD相似；

当 时，有1个点，使得点△PAC和△PBD相似；

此题也是特殊到一般的过程，首先还是根据相似三角形的知识分类讨论。第（1）种分类利用了 “相似三角形的判定—两组对应边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似”、“一元一次方程的解法”等知识点，第（2）种分类还使用了“一元二次方程中根与系数的关系”等知识点解决问题。此题的主要解法与第6题不同，主要是从代数内容入手，几何知识使用了相似三角形的判定来辅助解决问题，与第6题的解法对比强烈。

上述的第7题，从一个图形出发，横向可以扩展为与函数相关的求解题型，纵向可以扩展为相似形相关的知识，在证明相似的时候又可以横向发展以代数方法为主，和以几何方法为主的两种不同求解办法。过程中涵盖了初中三年多个教学中的知识点，多种初中数学学习的数学方法和思想。在初三复习时是一个举一反三的例题，也是教师对初中教学研究的一个参考。