●凡胜富 (阜阳市第三中学,安徽 阜阳 236000)

●蒋 娟 (阜阳市颍泉小学,安徽 阜阳 236000)



对2017年全国卷理科第20题的解法探究与拓展*

●凡胜富 (阜阳市第三中学,安徽 阜阳 236000)

●蒋 娟 (阜阳市颍泉小学,安徽 阜阳 236000)

圆锥曲线定点问题是高考中一个热点问题.由于运算能力要求高、综合性强，也是学生比较惧怕的问题之一.文章通过对一道高考题的解法分析，引导学生进行审题，如何进行解题方法的选择、思考视角的选择、以及对试题的拓展.

切入点；特征；几何关系；推论

1 题目呈现，理清思路

1)求C的方程；

2)设直线l不经过点P2且与C相交于点A,B，若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1，证明：l过定点．

(2017年全国数学高考新课标卷理科试题第20题)

分析 这是一道经典的圆锥曲线定点问题，其考查的知识涉及解析几何的重点内容.通常借助方程的思想进行分析、解答，利用解方程或根与系数的关系求解，同时通过灵活利用图形的几何特征及代数表达式的特征逐步优化，这类试题的综合性和灵活性较强.

2 挖掘条件，分析解答

视角1 由线切入，寻找几何关系

证法1 (从直线PA，PB入手，求出直线AB的方程)设直线P2A:y=k1x+1，P2B:y=k2x+1，且k1+k2=-1,联立方程组

得

从而

同理可得

于是直线AB的斜率为

因此直线AB的方程为

即

亦即

故直线l过定点(2,-1).

评注 注意到点P2的坐标为(0,1),故从直线P2A与P2B的方程切入，求出点A,B的坐标，再通过两点求出直线方程，从而确定定点.解题过程中利用k1+k2=-1，把式中括号部分均转换为只含参数k1，目的是把方程转化为点斜式形式，给化简指明方……