●吴淑芳 朱成万

(杭州第十四中学,浙江 杭州 310006)



1个公式 5类问题 14年高考*
——对角线向量定理在浙江高考中的妙用

●吴淑芳 朱成万

(杭州第十四中学,浙江 杭州 310006)

浙江省数学高考试题有自己的风格和特点，常考常新，每年总有1～2道试题能被同一对角线向量定理秒杀．文章对该定理的应用进行分类解析，形成通解通法，实现从复习到考试的软着陆．

对角线向量定理;通解通法；极化恒等式

浙江省数学高考自主命题，从2004年以来，已经成功地实现了软着陆，并形成了自己的特点和风格[1]．对主干知识的考查每年从不同的角度设问，常考常新，推陈出新．笔者研究发现：这14年(2004～2017)的浙江省数学高考试卷中每年都有1～2道试题能被同一个公式秒杀，这个公式就是：

(1)

笔者称式(1)为对角线向量定理(文献[2]称之为四点向量定理，笔者认为把它叫做对角线向量定理更能体现该公式的特点)．它可以用来破解高考试题中有关平面向量数量积问题和立体几何中的异面直线所成角、线面角以及二面角等空间角度问题，也可以破解立体几何中有关距离的问题和翻

折问题．

1 对角线向量定理

图1

如图1，在△ABC中，由余弦定理的向量式得

在△ADC中，同理可得

因此在四边形ABCD中，

,

(1)

式(1)就是对角线向量定理，它表明：四边形的两条对角线对应向量的数量积可用4条边的长度表示．该定理的两个推论是显而易见的．

(2)

式(2)表明：当对角线互相垂直时，四边形两组对边的平方和相等．

推论2

(3)

图2

式(3)可以求平面或……