浅谈高中数学数列问题的解题思路与技巧

2017-07-03王雯然

新课程·中学 2017年5期

王雯然

摘要：数列作为高中数学学习的重要内容，它和代数、方程、函数、解析几何等许多知识相关。在数列知识中运用的递推思想方法、分类讨论等思想方法与解题技巧在数学解题中非常有用，掌握数列解题的思路与技巧对提高数学解题效率益处巨大。对高中数列解题的思路技巧进行了总结。

关键词：高中数学；数列问题；解题思路

高中数学的数列问题解题方法思路灵活多样，其中包含递推思想、函数思想等许多数学思想和方法，因此，掌握和灵活运用数列问题的解题思路和技巧对提高数学思维能力有重要作用。笔者作为一名高中数学爱好者，结合高中数学学习实践，对数列问题的求解思路和方法进行总结，希望对数列部分的学习有所帮助。

一、运用化归的思想和方法求解数列问题

数列的通项公式、前n项和公式和数列知识应用是整个高中数列解题的核心问题。在数列问题的解题中，求通项公式对解决数列问题来说非常重要。其解题方法多种多样，其中许多数列问题可以用化归的思想方法，把问题转化成等差（比）数列问题进行解决，这样就能非常方便地进行求解。

例1.把数列问题转化成等差型数列an-an-1=f（n）形式求通项公式。

已知a1=1，an-an-1=n-1。求：an。

解题分析：对于此类等差型数列，常采用叠加法进行求解。

∵an-an-1=n-1，a2-a1=1，a3-a2=2，

∴a4-a3=3…可求出an-an-1=n-1。把上面式子相加能得到an-a1=1+2+3+…+n-1，∴an= 。

解题要点：用该方法求通项公式，一是叠加后等式左边能进行错项相消，二是等式右边要能容易求和。

例2.把数列问题转化成等比型数列 =f（n）形式求通项公式。

已知a1=1， = 求：通项公式an。

解题分析：对于等比型数列求通项公式，一般采用把若干等式的左右两边分别相乘的方法，即累乘方法来求通项公式。

∵ = ， = ， = … = 。

把这些等式左右分别相乘可得： = ，∴an= 。

要求：运用累乘方法求通项公式，要求等式两边能够化简。

二、运用函数和方程的思想求解数列问题

运用函数的概念与性质对数列问题进行分析转化，从而使数列问题容易求解；运用方程的思想求解数列问题，就是从数列问题的数量关系出发，把数列问题转化成方程或不等式的形式来使问题得到解决。运用这两种方法求解数列问题，要注意挖掘问题中的隐含条件，建立函数解析式和方程式是其解题的重点。

例3.有等差数列an，其前n项之和是Sn，a3=12，S12>0，S13<0。

（1）求公差d的取值范围；（2）求S1，S2，S3…S12中的最大值，并讲出原因。

解题分析：（1）在本题中利用方程（不等式）的思想就比较容易求解问题，通过利用通项公式an和前n项和公式Sn来构建不等式就能方便求出公差的范围。（2）对于在数列问题中求前n项和的最大值问题，利用函数的思想和方法，把Sn的表达式转化成二次函数，这样问题就变成求函数的最值问题，此题就容易解

决了。

解题思路：（1）∵a3=a1+2d，可求出a1=12-2d，∴S12=12a1+66d=12（12-2d）+66d=144+42d>0，S13=13a1+78d=13（12-2d）+78d=156+52d<0，解不等式组144+42d>0156+52d<0，可求出：-

（2）求Sn的函数表达式，Sn=na1+ n（n-1）d=n（12-2d）+ n（n-1）d= n- （5- ）2- （5- ）2，∵d<0，∴ （5- ）2取最小值时，前n项和Sn最大。结合（1）中d的取值范围，可求出6< （5- ）<6.5，∵n只能取正整数，∴n=6时，[n- （5- ）]2最小，由此可求出S6最大。

对于本题还可以换另一种思路来求解，即通过求出an>0，an+1<0来求解。∵d<0，∴a1>a2>a3>…>a13，根据S13=13a7<0，得出a7<0，再根据S12=6（a6+a7）>0，得出a6>0，∴可得出S6的值最大。

三、运用数学归纳法求解数列问题

数学归纳法也是求解数列问题的常用基本方法之一，运用归纳法其关键是要证明n=k+1时命题成立，该方法也是由递推来进行归纳的解题方法。

例4.假设有an= + + +…+ ，n∈N

证明： n（n+1）

解题分析：此题和自然数n相关，可运用数学归纳法求解证明。当n=1容易求证，重点在于求n=k+1时，ak+1=ak+ 式子成立，因此，在n=k的式子中加入，再与所证明的结论进行比较来求解。根据归纳法的步骤，其求解思路如下：

当n=1时，an= ， n（n+1）= ，（n+1）2=2，∴n=1时结论成立。

假设n=k时结论成立，即有， k（k+1）

当n=k+1时，只要证明下式成立即可：

k（k+1）+

可先证明结论左边式子： k（k+1）+ > k（k+1）+（k+1）= （k+1）（k+3）> （k+1）（k+2）。

再证明结论右边式子：（k+1）2+ = （k+1）2+ < （k+1）2+（k+ ）= （k+2）2。