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(川汇区教体局教研室 河南周口 466001)



基于初中层面的弦张定点成直角的问题探究

●李世臣

(川汇区教体局教研室 河南周口 466001)

在动态数学软件GeoGebra环境下，文章以一道中考数学压轴题为起点，基于初中层面的抛物线、双曲线、平行直线、相交直线上的2个动点对某定点张直角问题进行了深入研究，发现一组有价值的结论，深化了对问题的认识．

GeoGebra；包络曲线；二次函数；反比例函数；轨迹

2014年湖北省武汉中考数学第26题是一道综合性较强的压轴题，其根植于初中核心知识和基本技能，指向于高中优生选拔和素养要求，是一道设计巧妙、简洁明了、内涵丰富的好题．文献[1]对曲线上的定点张直角弦问题进行了研究，若定点不在曲线上会有什么几何特征呢？笔者利用动态数学软件(GeoGebra)就基于初中层面的定点张抛物线上两点成直角问题、张双曲线上两点成直角问题、与两条平行线上的点张直角问题、与两条相交直线上的点张直角问题进行了拓展研究，获得了一些有价值的结论．

1)直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C的坐标；

3)若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．

图1 图2

问题3)说明抛物线上定点对抛物线上的弦张直角，则弦所在直线过定点．那么，这个问题能否推广到一般情况呢？

探究1平面内的定点张抛物线上两点成直角问题[2].

如图2，已知定点P(u,v)，二次函数y=ax2+bx+c(其中a≠0)的图像与直线y=kx+d交于点A(x1,y1),B(x2,y2)，∠APB=90°，PH⊥AB于点H(m,n)．联立方程组

消去y，得ax2+(b-k)x+c-d=0,

则

过点H作对称轴的平行线，交抛物线……