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由贝特朗概率悖论得到的一个有趣现象

●徐新

(温州华侨职业中等专业学校 浙江温州 325000)

文章通过对贝特朗概率悖论分析，发现这样的概率模型，其样本空间可以是一维直线的区间，也可以是二维平面的区域.究其原因，是因为随机变量函数具有特殊的性质，构造出类似的随机变量函数，可以得到类似的概率模型.

贝特朗概率悖论；几何概型；随机事件；样本空间

贝特朗概率悖论(下文简称悖论)由贝特朗于1889年提出，它说明这样一个原理：解决一个实际问题的时候，必须建立无歧义的概率模型[1].事实上，因为该悖论对问题的表述含糊，从而造成理解上的歧义，所以其本身并不能直接求解.为此，我们必须先将其含糊的表述加以明确，得到确定的随机试验，从而建立无歧义的概率模型，再对相应的概率模型进行求解.

通常对“在圆内任作一弦”进行明确，可得到多种不同的随机实验[2].笔者讨论以下两种情况的概率模型：1)弦的两个端点都是在圆周上随机地取；2)弦的一个端点固定在圆周上，另外一个端点在圆周上随机地取.

图1 图2

解如图1所示，依据圆的参数方程，设A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，其中α,β∈[0,2π],从而样本空间为[0,2π]×[0,2π].由题意，

对应区域是图2中的阴影部分.由几何概型的定义，得

解法1依据圆的参数方程，设A(cosα0,sinα0)，B(cosβ,sinβ)，α0是区间[0,2π]上取定的值.由点B的随机性，知β∈[0,2π]，因此样本空间是[0,2π]．此时，

下面根据β的取值范围求解:

图3 图4 图5

模型2的解法1与模型1的解法形成比……