云南省德宏州盈江县第一高级中学 尤廷田

一、引言

三角形是几何中的基本图形，三角形的重心是关于三角形的重要定理，于是证明三角形重心的存在性能够给学习者提供一个展示自身才华的机会，提高知识的应用能力，还能加深学习者对重心的理解程度，更好地认识三角形，同时也从一个侧面反映数学知识的严谨性。

二、三角形重心的证明

三角形的重心：三角形三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心

证明：

法一：如图一设AD、BECF分别是∆ABC的边BC、CAAB的中线，则

由塞瓦定理得AD、BECF、三线平行或相交于一点。而AD、BE相交于G点，故AD、BECF三线相交于G点。

命题得证[2]。

法二: 如图二设AD、BECF分别是∆ABC的边BC、CAAB的中线。设AD与BE相交于G，AD与CF相交于H，

设

则

故

于是得

即

同理

从而知∆ABC的三条中线相交于一点。命题得证。

法三：如图三设AD、BECF分别是的边B、CCAAB的中线，设A、DBE相交于G.建立仿射坐标系则A(0,0),B(1,0),C(0,1)D(0.5,0.5),E(0,0.5),C(0.5,0.)设G分有向线段AD成定比x,

故

设,G分有向线段BE成定比y,故由点的唯一性得

即G点在CF上，从而知∆ABC的三条中线相交于一点。命题得证。

法四：设AD、BECF分别是∆ABC的边B、CCAAB的中线，以BC所在的直线为x轴，BC边上的高AO所在直线为y轴，OC的长度为1个单位长度建立直角坐标系（如图四），则C(1,0).设A(0,a),B(b,0),则D(0.5+0.5b，0),

E(0.5,0.5a),F( 0.5b, 0.5a),AD、BECF

所在直线方程分别为：

方程组

故AD、BECF相交于一点。命题得证。

法五：∆ABC是任意一个三角形，∆A1B1C1是一个正三角形，A1D1,B1E1,C1F1,是∆A1B1C1的三条中线（如图五），设A1D1,B1E1,相交于O1，C1F1,A1D1相交于O2.由正三角形的三线合一的性质可得

故O1与O2重合，即正三角形的三条中线交于一点。

由平面仿射几何基本定理，存在唯一的仿射变换T将∆A1B1C1变为∆ABC.由于仿射变换保同素性和接合性，得D1、E1、F1的象D、E、F分别在BC、CA和AB上。……