湖北省郧西县第三中学 杨玉敏

一、函数的单调性

（一）函数的单调性的定义

设函数y=f(x)的定义域为I，若对于定义域I内的某个区间D内的任意的x1，x2，当x1f(x2)），则称函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数.

温馨提示：（1）单调性是函数的局部性质，一个函数在不同的区间上可有不同的单调性；（2）定义中的x1，x2相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值来代替；（3）一个函数在区间D1，D2上是增（减）函数，在D1∪D2上不一定是增（减）函数，如：函数因此，讨论函数的单调性一定要指明区间.

（二）函数的单调性的判定

例1.判断下列函数的单调性.

（1）f(x)=−x2+2x+1，(x>0)；（2）(x≥0)（3）

分析：可根据不同函数的不同特点，选用最简解法.

解：（1）函数f(x)=−x2+2x+1的

对称轴为x=1，结合图象，知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在[1，+∞)上单调递减.

（2）易知函数f(x)的定义域 为 [0,1].设0≤x10，x2−x1> 0 ，即f(x1) >f(x2)，∴函数f(x)在[0,1]上单调递减.

（3）函数f(x)的 定 义 域 为(−∞,1) U(1,+∞).由 于函数y1=1−x是减函数，∴在(−∞,1) U(1,+∞)上是增函数，故函数f(x)

在(−∞,1)，(1,+∞)上单调递增.

点评：上例分别用了图象法、定义法和复合函数单调性法三法.判断函数的单调性还有两法：（1）利用结论：两个增（减）函数之和仍为增（减）函数，一个增（减）函数减去一个减（增）函数为增（减）函数；（2）导数法.其中，证明单调性时只能用定义法或导数法. 定义法的步骤是：（1）任取x1，x2∈D，且x1

跟踪练习1：试判断函数在(0，+∞)上的单调性，并证明.

【答案：增函数，用定义法证明（略）】

（三）函数的单调性的应用

例2.已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，当x>1时，f(x) > 0，且f(xy)=f(x)+f(y).

（1）证明：函数f(x)在定义域上是增函数；

（2）若求满足不等式的x的取值范围.

分析：解抽象不等式可利用函数的单调性来脱掉“f ”.

（1）证明：令x=y=1，得f( 1)=f( 1)+f(1)，故f( 0)=1.

令得故

任取x1，……