付长兵

【摘要】类比推理是解决数学问题的一种重要方法.它与归纳推理和演绎推理并重，是高考中的核心考向.教师要引导学生在解决数学问题中通过观察、分析和联想进行对比，提出猜想，找到合适的类比对象，顺利地解决问题，提高能力.

【关键词】高中数学；类比推理；对比

类比推理需要学生做到由此及彼，根据已知的知识来探究未知的知识，找到知识之间的联系，进而发现规律和方法，形成自己的结论，学会分析问题和解决问题，实现能力的提高.在数学学习过程中，教师引导学生采用类比推理的方式来解决问题有利于学生进行发散思维，建构自己的知识框架，寻找规律，进而接受新知识，掌握新方法.

一、类比定理，体会数学性质

数学学习过程中的定理是非常多的，通过对于定理的学习和掌握有利于学生更好地理解数学规律，方便学生的解题和对于数学知识的学习.教师要引导学生寻找定理中的相似之处，把知识进行拓展和延伸，促进学生进行由此及彼的思考和探究，进而找到规律，做出猜想，提高自己的思维能力.例如，在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，则有a=bcosC+ccosB，试类比以上定理，给出三维空间四面体性质的猜想.在分析问题中，学生就可以利用类比的思想来探究问题，首先学生可以画图，

在四面体P-ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA与底面ABC所成角的大小，猜想其结论为S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ.通过运用类比的思想，学生的思维变得更加开阔，在“求同”中逐步地学会“存异”，使学生的思维活跃，可以进行联想和归纳，找到相似的之处，进而更深刻地理解数学性质，掌握数学解题方法和技巧，提高自己的综合学习能力.

二、类比结论，实现举一反三

数学中的很多结论学生是可以直接来运用的，只要学生能够理解其中包含的数学知识和规律就可以灵活地应用，达到举一反三的程度，在解题过程中表现出超常的表现和惊人的思维能力.学生不仅要掌握解题过程中得到的结论，同时还要善于进行发散思维和拓展想象，把数学规律进行巧妙的变化，实现规律的变通，在解决问题中做到轻松应对，触类旁通.例如，教师提供练习题：已知数列{an}为等差数列，若am=a，an=b（n-m≥1，m，n∈N+），则am+n=nb-man-m.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}（bn>0，n∈N+），若bm=c，bn=d（n-m≥2，m，n∈N+），则可以得到bm+n等于多少？学生在类比中要注意等差数列{an}和等比数列{bn}类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算.这是解决等差数列和等比数列问题中的一个通用的结论，学生要善于总结归纳，并在解决过程中灵活应用.在对于本题的分析中，学生可以设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.因为an=a1+（n-1）d，bn=b1qn-1，am+n=nb-man-m，所以类比得bm+n=（n-m）dncm.通过对于结论的类比，学生的思维会变得更加开阔.学生要注意在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，而且要注意找两类对象的对应元素.如，三角形对应三棱锥、圆对应球、面积对应体积等等.同时，要找到对应元素的对应关系，如，两条边垂直对应线面垂直或面面垂直、边相等对应面积相等.学生掌握了这些规律会深化自己的理解和认识，灵活地对相关知识进行类比和比较，形成深刻的认识，灵活地应用知识.

三、类比方法，总结解题规律

在解决数学问题中，方法是最为重要的.教师在对学生进行教学的过程中要学会方法的引导，对学生进行“授之以渔”的教学，促进学生掌握知识，学会解决方法，形成自己的思路，进而提高能力.例如，学习了基本不等式的知识后，教师就可以引导学生去归纳总结，通过类比和比较的方式总结出求最值的方法.在类比和比较中，学生会认识到“常数代换法”是解决这类问题最为常用的方法.这个方法就是利用已知等式的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求解最值的方法.此种方法适用于已知两变量之间的和或积为常数时有关代数式的最值求解问题.这类问题的基本解题步骤就是：首先，换常数，把已知条件中的等式变形为“1”的表达式；其次，精化简，把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商，通过变形构造和或积的定值；再次，是求最值，利用基本不等式求解最值；最后，就是回顾反思，常数代换法求解最值的关键在于常数的变形应用.利用这种方法求解最值应注意三个方面：首先，是条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；其次，是已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的基础；最后，利用基本不等式求解最值时要注意“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解.学生在类比中总结出了这些规律就会轻松地应对此类相关问题，做到胸有成竹，游刃有余.

四、类比公式，强化理解记忆

牢固记住数学公式，才能够灵活熟练地应用.教师可以引导学生采用类比的方式来进行记忆，强化学生对于公式的理解和掌握.比如，在学习圆台的侧面积公式时，教师就可以根据已经学习过的梯形面积公式进行类比，帮助学生对于圆台公式的记忆和掌握.梯形公式是学生所熟悉的，（上底+下底）乘高除以2，其中上底指圓台上底面圆的周长，下底指圆台下底面圆的周长，高指圆台的母线长.通过把它们之间的相似之处进行类比，能够帮助学生的记忆，方便学生的理解，实现学生牢固地掌握公式，久久不忘.

总之，在解决数学问题时，教师要学会引导学生进行类比推理，引导学生思维方式和思维方法，促进学生在思考中掌握方法，提高能力，实现学生数学综合素质的提高.