筅江苏省张家港市乐余高级中学张森焱

高考中的递推数列分类例说

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数列是高中数学的一项重点内容，关于递推数列的考查是其中的一个难点，它类型多，解法灵活，技巧性强，是考查学生逻辑推理与转化化归能力的良好载体，也是近年来高考常考的内容.下面介绍对递推数列的几种考查方式，以期抛砖引玉.

一、考查递推数列通项公式的求解

递推关系是给出一个数列的重要形式，求数列的通项公式，是得出一个数列的基本途径，也是转化与化归重要数学思想的应用——化抽象为具体.

方法1：运用累加法求解

这种方法适用于：在数列｛an｝中，首项a1已知，且满足an+1=an+f（n），数列｛f（n）｝是可以求和的.

例1已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=an+1 n（n+1），求数列｛an｝的通项公式.

所以结合已知得

以上n个等式相加得

方法2：运用累乘法求解

它适用于：在数列｛an｝中，首项a1已知，且满足an+1=

an·f（n），数列｛f（n）｝是可以求出乘积的，通常·f（1）·a1，常见f（n）有以下2种类型：

（ii）f（n）=kan，（ak≠0，a≠1），即数列｛f（n）｝为等比数列，其中a为公比，首项为ka.

例2在数列｛an｝中，已知数列｛an｝的通项公式.

方法3：构造等差数列法求解

将所求的数列递推关系式变形，构造等差数列.

例3在各项不为零的数列｛an｝中，已知a1=1，an-1=，求数列｛an｝的通项公式.

常见构造的等差数列的形式有三种：

一是形如an+1=p·an+qn（p，q为非零常数，且p≠1，q≠1，p=q），此类数列解决的思路是，在an+1=p·an+qn的两边同除以qn+1，即是以为首项，为公差的等差数列；

三是形如an=p·Sn·Sn-1（n≥2）（p为非零常数），解题思路是先利用an=Sn-Sn-1（n≥2）代换an，得Sn-Sn-1=p·Sn·Sn-1，然后两边同时除以Sn-1·Sn，得，-p为公差的等差数列.

方……