筅浙江省诸暨市海亮高级中学沈铁表

一类圆锥曲线定点问题的多视角探究

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同一类型的问题，其解法往往有其规律性，要想减轻课业负担，从题海中解脱出来，必须学会在解题后对问题的求解方法、常见变式进行探究，并发现归纳知识间的内在联系，挖掘出数学思想与方法，总结概括出解题的基本规律.这样，既有利于对问题的认识上升到一个更高层次，又有利于概括思维能力的训练和培养.

例1在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等.

（1）求动点E的轨迹C的方程；

（2）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过点M（1，0）.

解析：（1）y2=4x.（过程略）

设切点P（x0，y0），

故以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）.

点评：以PQ为直径的圆恒过定点M，则有MP⊥MQ，从而可利用向量数量积为0或斜率之积为-1来求解.

下面从多个视角对此类定值问题进行探究.

一、改变求解结论

例2在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等.

（1）求动点E的轨迹C的方程；

（2）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点.

解析：（1）y2=4x.（过程略）

（2）联立消去x得ky2-4y+4b=0，因为直线l与抛物线相切，所以Δ=16-16kb=0，即b=，所以直线l的方程为y=kx+.

点评：本题将所求结论改为定点的探索型问题，求解的关键是找出满足条件的参数关系式，即可判定所过的定点.

二、改变求解策略

例3同例2.

解析：（1）y2=4x.（过程略）

设切点P（x0，y0），则

令k=1，则P（1，2），Q（-1，0），PQ中点为（0，1），|PQ|=，所以以PQ为直径的圆……