筅江苏省扬中高级中学林云

立体几何向量法的教学与思考
——以2015年北京高考题为例

筅江苏省扬中高级中学林云

立体几何对学生的空间想象力要求较高，向量法的最大方便之处是可以将空间问题转化为向量计算，使学生摆脱空间点、线、面关系的干扰，通过直接对向量计算达到解题的目的.向量法使用的同时也应该发展多方法、多思维教学，提高学生的综合能力.

一、试题呈现

试题如图1所示，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F、G、H分别为PB、EB、PC的中点.

（1）求证：FG∥平面PED.

（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.

（3）在线段PC上是否存在一点M，使得直线FM与直线PA所成的角为60°？如果存在，求出线段PM的长；如果不存在，请说明理由.

图1

二、解法探究及点评

1.解法探究

（1）证明：因为点F、G分别为线段PB、EB的中点，所以有FG∥PE.又因为PG埭平面PED，PE奂平面PED，所以可证FG∥平面PED.

（2）因为EA⊥平面ABCD，EA∥PD，所以有PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD.

又因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD.

可采用空间向量法，如图2，建立空间直角坐标系，因为有AD=PD=2EA=2，所以有D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）.

图2

因为F、G、H分别为PB、 EB、PC的中点，所以F（1，1， 1），G奂2，1，奂，H（0，1，1），所以

设n1=（x1，y1，z1）是平面FGH的法向量，

设n2=（x2，y2，z2）是平面PBC的法向量，则有

（3）假设线段PC上存在一点M，使得直线FM与直线PA所成的角为60°.

2.试题点评

本题是高考常见的立体几何题型，考查线面平行的判定以及二面角的求解，采用向量法解此类题会相对简便.解决的关键是正确建立坐标系，准确计算点线的坐标，可通过引入平面法向量来求二面角.立体几何对学生的空间想象以及逻辑推理能力要求较高，采用空间向量法可……