项效萱

【摘要】行列式为高中数学选修课程中的内容之一，该知识点简单易掌握，并且与空间向量问题有着千丝万缕的联系，使用三阶行列式计算法则，可以轻松解决多种空间向量问题。

【关键词】行列式 法向量 空间三角形面积 三棱锥体积

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）24-0296-01

背景知识：行列式基本运算法则：

（1）二阶行列式

（2）三阶行列式

接下来我们来探讨行列式在空间向量中的实际运用

（1）行列式的求解法向量

法向量为

则有，

该方法的本质是：向量的“×”乘运算，得到垂直两向量的新向量，即为法向量。其方向可利用左手定则判断，与物理中的磁场力方向判断方法是完全一致的。

例1：如图所示，PA⊥面ABCD，面ABCD为矩形，PA=

AB=1，PD与面ABCD所成角为30°，点F是PB中点，点E在PB边上移动，求面PAC法向量。

传统解法：建立如图所示坐标点

其中A（0，0，0）P（0，0，1）

设法向量

用行列式求解：建立如图所示坐标系

A（0，0，0）P（0，0，1）

与传统方法的求解得出的法向量一致。

小结：对于许多求解法向量较为复杂的问题，同学们很难容易出错，使用行列方法既方便又不易出错。

（2）行列式求解空间三角形的面积。

由向量的“×”乘定义知道：的本质为垂直于

的一个向量，

它的模为：（夹角），

而△ABC的面积为：

∴

（3）行列式求解三棱锥体积空间内有四点，任意一点作为顶点，例如A

则有

=（x3-x1，y3-y1，z3-z1）

=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）

三棱锥体积

例2：如图，长方体AC1中，AB=2，BC=AA1=1，E，F，G

分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，（1）试在底面A1B2C1D1上找一点H，使EH/平面FGB1；（2）求四面体EFGB1的体积。

解（1）略

（2）本题特点在于无法直接使用体積法换顶点，因为这4个顶点都无法直接得到棱锥的高。……