李晓晓

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

基于一次性设备指数分布简单步加试验的统计分析

李晓晓

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

一次性设备不能重复使用，不能通过试验观测到其真实的寿命，只能观测到寿命区间．为了在短时间内获得更多的寿命信息，对寿命服从指数分布的一次性设备进行了简单的步加试验．引进EM算法，解决了矩估计、极大似然估计等传统的统计方法估计参数比较困难的问题．

一次性设备；EM算法；指数分布；步加试验

随着科学技术的发展，高可靠、长寿命的产品越来越多，它们在正常工作条件下寿命能达到数万小时以上，甚至更长时间，这样不仅大大增加了试验费用，而且由于时间过长，使试验失去意义．这就要求我们在最短的时间内掌握产品的一些质量信息．对于高寿命的产品，截尾寿命试验也不能适应这种需要．像一次性设备，如电子引爆装置、航天飞机、军工兵器、汽车安全气囊等设备的寿命是很长的，由于它们的破坏性质，这些设备在截尾寿命试验中的使用寿命总是左截尾或右截尾[1]，完全样本的失效时间无法观测到，在有限的时间和正常操作条件下收集用来预测设备可靠性指标的足够的寿命信息就变得相当困难．出于这个原因，加速寿命测试经常被使用，以诱导施加较高水平应力的装置快速失效．

加速寿命试验通过增加应力水平缩短产品寿命，通常在加速寿命试验中设定恒定应力，可以使用多种应力因素，例如温度和湿度．在高应力条件下估计参数后，可以推测出高应力条件下的平均寿命和失效率，进而推断出正常操作条件下的寿命特性[2-3]．基于一个假定的分布模型和应力的关系，在一个特定的任务时间和正常工作条件下设备的可靠性指标可以从更高的应力水平下的可靠性指标来外推．EM算法是对参数进行极大似然估计应用比较广泛的方法．加速寿命试验研究很多都是一次性设备在恒定应力下进行试验的，Balakrishnan等[4]用EM算法估计了指数分布下单应力因素的一次性设备模型的参数，进一步将单应力因素模型延伸成多应力因素模型[5]，并分别将同样的问题延伸到威布尔寿命分布和伽马寿命分布[6-7]，还做了关于竞争失效模型的EM算法分析[8]．然而，这些研究没有考虑将恒定应力变为步进应力从而进行步加试验，步加试验的失效时间要比恒加试验的失效时间短，而且可以减少受试样品的数量．因此，步加试验是一个对于测试高可靠性产品非常有效的试验方法．

本文在阐述一次性设备试验模型和步加试验基础上，假定产品寿命服从指数分布，且除了温度以外没有其他应力因素的影响．为了方便，设定两个温度应力水平，应用EM算法对一次性设备寿命服从指数分布情形进行了统计分析．

1 模型阐述

在一次性设备的步加试验中，将温度设置为应力因素，用wj(j=1,2)表示，检测时间用tji(i=1,…,mj,j =1,2)表示．首先，将N个设备放到温度w1下，在检测时间t11,…,t1m1取出k11,…,k1m1个设备分别进行检测，在t21时刻把温度调至w1，剩下的设备分别在检测时间t21,…,t2m2进行检测．

步加试验模型符号说明如下：

1）tji(i=1,…,mj,j =1,2)表示设备的检测时间；

2）wj(j=1,2)表示设备的检测温度；

3）kji表示在时间tji和温度wj下设备的检测个数；

4）nji表示在时间tji和温度wj下检测设备坏掉的个数；

5）tjik表示在检测时间tji下，第k个设备的寿命．

在本文中，T为随机变量，假定T是独立的，服从参数为λ的指数分布，令λwj表示设备中元件在温度wj下的失效率,tjik表示随机变量T的真实值，则它的概率密度函数为：

累积分布函数为：

以及生存函数为：

λwj和wj的关系用一个对数线性函数的形式来表示：

其中，公式（4）是由加速模型变换而来，加速模型是单应力加速寿命模型中最常用的模型，对加速模型做对数变换，则加速方程就变为线性模型．

在应力水平w1下，t11,…,t1m1是样本实际的检测时间；而在应力水平w2下，检测时间t21,…,t2m2下不是样本真正的检测时间．因此，步加试验的数据分析需对失效数据进行换算，这里需要增加假定A3[9]．

假定A3[9]产品的残余寿命仅依赖于当时已累积失效部分和当时应力水平，而与累积的方式无关．

假定A3是Nelson[10]根据产品的物理失效规律提出的，利用这一假定，可对步加试验数据进行折算．如果产品在应力水平S下的寿命分布为Fs(t)，则假定A3的数学意义是：产品在应力水平Si下工作τi时间的累积失效概率FSi(τi)，相当于该产品在应力水平Sj下工作τij时间的累积失效概率FSj(τij)，即

将其展开为

即在概率意义下，产品在应力水平Si下试验iτ时间相当于在应力水平Sj下试验时间，其中假定iθ和jθ分别是在应力水平Si和应力水平Sj下的参数．

应用假定A3，可以将应力水平w2下的测试数据折算成应力水平w1下：

相应的的似然函数为：

2 EM算法

EM算法（Expectation Maximization Algorithm）是一种有效解决缺失数据情况下对未知参数进行极大似然估计问题的方法[11]，主要用来求极大似然估计，它的每一次迭代中由两部组成：E步（求期望）和M步（极大化）[12]．

假设Y是观测数据，Z是潜在数据，θ是未知参数，以p(θ|Y)表示θ基于观测数据Y的后验分布密度函数．p(θ|Y,Z)表示添加数据Z后得到的关于θ的后验分布密度函数，P(Z|θ,Y)表示在给定θ和观测数据Y下潜在数据Z的条件分布密度函数，我们计算的目的是观测后验分布P(θ|Y)的众数．

于是，EM算法可以如下进行，记θ(m)为第m+1次迭代开始时后验众数的估计值，则第m+1次迭代的两步为：

1）E步：将p(θ|Y,Z)或logp(θ|Y,Z)关于Z的条件分布求期望，从而把Z积掉，即

如此形成了一次迭代θ（m）→θ（m+1）．将上述E步和M步进行迭代直至，或者充分小时停止．本文中的步加试验中有两个参数，分别是待估参数α0和α1．

一次性设备的样本中，λwj=α0eα1wj，α0,α1,w≥0，λwj表示设备中元件在温度wj下的失效率，α0和α1是两个兴趣参数，温度wj是观测数据，而寿命tjik是隐藏的数据．这里α0和α1的对数似然函数用lc(α)表示为

M步的目标就是函数的极大化

E步和M步是迭代的，直到收敛到我们想要的精确水平，这样我们可以看到，首先通过对缺失数据的逼近，解决了不完全数据的问题，然后用它们算出参数向量的估计．

2.1 M步

对公式（12）分别关于0α和1α求一阶导数，可以得到相应的似然方程

令一阶导数为零，方程（12）和（13）分别可以写为

通过牛顿迭代法解决方程式，第m+1次迭代公式为

2.2 E步

在E步，应力水平w1下，服从失效率为λ的指数分布，其密度函数为

则得到温度w1下的平均寿命为

同样的，在应力水平w2下，应用假定A3，将温度w1下那部分的试验数据折算成温度w2下的试验数据，其中假定真实的寿命t是相互独立的，并且服从失效率为λ的指数分布，相应的密度函数为

则得到温度w2下的平均寿命为

3 结 论

对于加速寿命试验来说，关于恒定应力试验的统计分析研究有很多，由于步加试验模型的复杂性，导致成熟的结果较少．本文进行了简单步加试验的统计分析，针对一次性设备在步加试验中不能通过试验观测到其真实的寿命，只能观测到寿命区间这个问题引进了EM算法．EM算法的最大优点是简单和稳定，它的主要目的是提供一个简单的迭代算法来计算极大似然估计．利用EM算法能很好处理在缺失数据等不完全数据的情形下获得极大似然估计的优点来简化计算并完成一系列的极大化，使得参数估计变得简单有效．

本文为探究高可靠、长寿命特别是一次性设备在正常应力水平下的寿命特征做了理论分析，步加试验技术迎合了高可靠、长寿命产品评估的工程需求，涉及武器装备、航空、航天、机械、电子等诸多领域．综合本文的分析，可以看出EM算法在处理数据缺失问题中有明显优势，算法和原理简单，应用广泛．

[1] 茆诗松，汤银才，王玲玲．可靠性统计[M]．北京：高等教育出版社，2008：73-348．

[2] Meeter C A,Meeker W Q. Optimum accelerated life tests with a nonconstant scale parameter [J]. Technometrics,1994,36(1): 71-83.

[3] Meeker W Q,Escobar L A,Lu C J. Accelerated degradation tests: modeling and analysis [J]. Technometrics,1998,40(2): 89-99.

[4] Balakrishnan N,Ling M H. EM algorithm for one-shot device testing under the exponential distribution [J]. Comput Stat Data Anal,2012,56(3): 502-509.

[5] Balakrishnan N,Ling M H. Multiple-stress model for one-shot device testing data under exponential distribution [J]. IEEE Trans Reliab,2012,61(3): 809-21.

[6] Balakrishnan N,Ling M H. Expectation maximization algorithm for one shot device accelerated life testing with Weibull lifetimes and variable parameters over stress [J]. IEEE Trans Reliab,2013,62(2): 537-551.

[7] Balakrishnan N,Ling M H. Gamma lifetimes and one-shot device testing analysis [J]. Reliab Eng Syst Saf,2014,126: 54-64.

[8] Balakrishnan N,So H Y. EM algorithm for one-shot device testing with competing risks under exponential distribution [J]. Reliab Eng Syst Saf,2015,137: 129-140.

[9] 张志华．加速寿命试验及其统计分析[M]．北京：北京工业大学出版社，2002：28-85．

[10] Nelson W. Accelerated life stress models and data analysis [J]. IEEE Trans Reliab,1980(29): 103-108.

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[12] 茆诗松，王静龙，濮晓龙．高等数理统计[M]．北京：高等教育出版社，1998：428-443．

The Statistic Analysis of the Simple SSALT Based on the Exponential Distribution of Disposable Equipment

LI Xiaoxiao
(College of Mathematics and Information Science,Wenzhou University,Wenzhou,China 325035)

It is well-known that the disposable equipment cannot be reused and its true life span cannot be observed through experiments except for its lifetime section. In order to gain more lifetime information in a short time,a simple step-stress accelerated life-test (SSALT) is undertaken in the experiment towards disposable equipment of the lifetime exponential distribution. Whereby the EM-algorithm is introduced to estimate the parameters of the model. This method turns out to be better than the traditional statistical methods like moment estimation and maximum likelihood estimation to solve the above problem.

Disposable Equipment; EM Algorithm; Exponential Distribution; Step-stress Accelerated Life-tests (SSALT)

O213.2

：A

：1674-3563(2017)02-0008-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.02.002 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：封毅)

2016-03-17

国家自然科学基金(11201345)

李晓晓(1990-)，女，山东潍坊人，硕士研究生，研究方向：应用统计与数理金融