数学解题中运用数形结合思想提高创造思维正能量

2017-06-05江苏省常熟市尚湖高级中学215500

数理化解题研究 2017年15期

关键词：复数交点代数

江苏省常熟市尚湖高级中学(215500)

孙丹●

数学解题中运用数形结合思想提高创造思维正能量

江苏省常熟市尚湖高级中学(215500)

孙丹●

本文指出什么是数形结合思想；数形结合的原则；数形结合的途径.本文还应用五种题型案例说明数形结合思想在实践中的应用.

转化构造；集合中应用；圆锥曲线；三角函数；复数；参数范围

纵观科学、艺术和技术发展，它们的共同基础都是自然的启示和人类的感情，或被称作想象力、创造力，两者缺一不可.艺术，如诗歌、绘画、音乐等，是创作者将对生命、宇宙、人生的感情通过艺术形式的表现唤起人们的意识或潜意识中深藏着的已经存在的情感；自然科学，如化学、物理、生物等，是用数学公式或自然定律的方式对自然界的现象进行准确的抽象.中国古人常说“文章本天成、妙手偶得之”.古人评价一个好的建筑，讲“宛若天成”、“巧夺天工”，评价一个好的手法，叫“神来之笔”，说人的思维在瞬间可以“精鹜八极”、“心游万刃”、“思接千载”、“视通万里”，也就是说来源于与宇宙天宇的沟通.北大著名教授朱孝远说：“我们的创造力，不管它是如何的强大，却是根基于我们已有的知识和文化中的.也就是蕴藏在我们的历史之中、时空坐标中，生命的关照总是在最关键的时刻，托起人们创新和驯服危机的想象”.

一、数形结合思想

1.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合通过“以形助教，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，其目的是为了发挥形的生动性和直观性，数的思路的规范性与严密性，二者相辅相成，扬长避短.

数形结合本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质.

2.数形结合的原则

(1)等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的.有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导.

(2)双向性原则.既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对一方面分析在许多时候是很难行得通的.

(3)简单性原则.代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法.

3.数形结合的途径

(1)通过坐标系助解.借助于建立平面直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化.实现数形结合，常与以下内容有关.①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如：等式(x-2)2+(y-1)2=4.

常见方法有：解析法、三角法和向量法.

(2)通过转化构造数形题解

许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化，例如，将a>0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+a·b=a2+b2-2|a||b|cosθ(θ=60°或θ=120°)，与余弦定理沟通，将a≥b≥c>0且b+c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对(或复数)和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应，等等，这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的).另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用.

二、数形结合思想在实践中应用典例

题型一在集合中应用数形结合思想

例1 设命题甲：0

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析将两个命题用数轴表示，如图所示，从图可以看出，命题甲是命题乙的充分不必要条件，故选A.

题型二在圆锥曲线中应用数形结合思想

题型三在三角函数、复数中应用数形结合思想

题型四在解析几何中的参数范围中应用数形结合思想

解析几何中的参数范围问题，一直是高考的热门题型.下面以高考解析几何有关范围问题为例，给出几种常用策略.

根据含参数方程表示曲线的几何特征，数形结合确定参数的范围.

题型五常见高考题应用数形结合思想

例5 若过定点M(-1，0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是( ).

除上数形结合外，有没有其他的解法呢？下面给出本题解答的两个新视角.

视角一：线性规划

我们知道，在平面内，一条直线Ax+By+C=0,把平面分成三部分，直线上的点Ax+By+C=0,在直线两侧的点分别使Ax+By+C>0或Ax+By+C<0.因此，若一条线段与已知直线有交点，则线段的两个端点必在直线的两侧(或有一点在直线上).把两个端点坐标分别代入直线方程，得积小于等于0(若不交于端点，则不等于0).