●周杭敏

(萧山区第六高级中学 浙江杭州 311261)

一道高考题引发的思考*

●周杭敏

(萧山区第六高级中学 浙江杭州 311261)

在高中数学中，我们常见的是已知初始值，且函数f(x)或数列{an}满足三阶递推式子，求当x或者n取较大值时函数f(x)或数列{an}的值.解决这个问题的关键是求出此时函数或数列的周期.平时解题中一般都是通过列举法求出周期，这种方法运算量较大，而且不太适用周期较大的函数，因此一种较为简单且利于学生计算的方法迫在眉睫.文章讨论函数f(x)或数列{an}满足三阶递推式子时求其周期性的一种新方法，并给出了最小正周期.

三阶递推；周期性；最小正周期

函数在高中数学中有着举足轻重的地位，也是高考压轴题考查的重点，周期性是函数的一个重要性质.而数列又是一种特殊的函数，利用函数的思想方法类比函数的周期性解决周期数列的有关问题，实现函数思想方法的正迁移，有利于知识的构建与重整.函数f(x)或周期数列{an}因其优美的周期性常常受到高考和竞赛的青睐.

题目 定义在R上的函数f(x)满足

求f(2 016)的值.

(2016年浙江省杭州市高三名校第1次模拟考试题)

分析 本题考查对数的运算性质和函数周期性，以及归纳推理的能力.根据函数的表达式，利用题中递推式子推导得出“当x>0时函数的周期”，再根据f(x)的周期性，求解f(2 016)的值.

解 对任意的x>0,由

f(x+6)=f(x+5)-f(x+4)=

f(x+4)-f(x+3)-f(x+4)=

-f(x+3)=-[f(x+2)-f(x+1)]=

-[f(x+1)-f(x)-f(x+1)]=f(x),得

f(x+6)=f(x)，

即当x>0时，f(x)的周期为6.因此，

f(2 016)=f(336×6)=f(6)=f(5)-f(4)=

[f(4)-f(3)-f(4)]=-f(3)=

-[f(2)-f(1)]=

-[f(1)-f(0)-f(1)]=

f(0)=log21=0.

从上述解答中可以发现:解决这道题的关键是求出当x>0时函数的周期.由于该解法需要……