平面解析几何备考复习策略*

2017-06-05叶莹莹浒山中学浙江慈溪315300苗孟义三山高级中学浙江慈溪315300

中学教研(数学) 2017年4期

●叶莹莹 (浒山中学浙江慈溪 315300) ●苗孟义 (三山高级中学浙江慈溪 315300)

平面解析几何备考复习策略*

●叶莹莹 (浒山中学浙江慈溪 315300) ●苗孟义 (三山高级中学浙江慈溪 315300)

2017年浙江省数学高考命题是文理不分科后的第1次命题，文章在浙江省历年数学高考自主命题研究的基础上，结合考试院12月的测试卷，预测2017年高考平面解析几何部分的考查难度(过去的“文科起步、理科压轴”的梯度)、考查内容、命题特点、复习备考策略等.

解析几何；圆锥曲线；高考备考；复习策略

1 知识内容

平面解析几何是高中数学教学的核心内容之一，在高考数学中占有十分重要的地位，是历年高考的重点、热点和难点.主要考查直线方程，圆的方程，直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，简单的线性规划问题，圆锥曲线的定义、方程、性质，以及以椭圆或抛物线为载体，结合其他知识考查的综合性问题等.

2 试题分析

2017年是文理不分科后第1次高考数学命题，回顾历年浙江省数学高考试题和2017年省考试院测试卷可以看出，平面解析几何内容一般考查3～4个选择题和填空题、1个解答题.文理不分科后就这部分内容的考查，试题的难易度会有所调整，预测类似于过去的“文科起步、理科压轴”的梯度.

1)直线方程，圆的方程，直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，简单的线性规划问题，在历年高考中主要以选择题、填空题的形式出现，考查相关概念、基本公式及应用，简单的线性规划问题(包括含参、恒成立、能成立、整点)等.

2)圆锥曲线在历年高考中，试题呈现选择题、填空题、解答题3种题型，其命题特点：

①选择题、填空题多数在基本概念和性质上命题，考查学生推理论证能力与数形结合的能力，包括圆锥曲线的定义、标准方程、性质的应用，特别是渐近线、离心率等.

②解答题表述简洁明了，一题两问，由浅入深，起点低、落点高.第1问考查基础知识，第2问考查综合性问题，如面积、位置关系等，对知识提出了较高要求，对考生的直觉判断、探究思辨、转化化归、代数运算等方面提出新的挑战.

3 典题剖析

例1 1)“a=-2”是“直线l1:ax-y+3=0与直线l2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的

( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

( )

A．与m有关 B．与a有关

C．与k有关 D．等于-1

( )

A．m<0 B．m>0

解 1)直线l1与直线l2互相平行的充要条件为

即

a=-2或a=1，

因此“a=-2”是“直线l1:ax-y+3=0与直线l2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的充分不必要条件．故选A．

2)由|logax|=m得

xA=am，xB=a-m.

yC=ka-m，yD=kam，

从而

因此直线CD的斜率只与k有关．故选C．

2t2-t+2m=0，

该方程表示一条直线，故关于t的方程在t≥0上有且只有1个实数解，分2类情况：

②令f(t)=2t2-t+2m，则f(0)<0，得m<0.

评注文理不分科后，涉及直线的斜率与截距、直线平行与垂直的充要条件、直线方程的几种形式、交点、距离等的考题往往是送分题，在复习时要打实基础，提高计算的正确率.另外要注意与其他知识的结合考查.

例2 1)以(a,1)为圆心，且与直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为

( )

A．(x-1)2+(y-1)2=5

B．(x+1)2+(y+1)2=5

C．(x-1)2+y2=5

D．x2+(y-1)2=5

3)在平面直角坐标系xOy中，⊙C的方程为x2+y2+8x+15=0．若直线y=kx上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与⊙C有公共点，则实数k的取值范围是______．

1)解因为直线2x-y+4=0与直线2x-y-6=0的距离为

2)解法1 设直线l与⊙C的交点为M(x1,y1)，N(x2,y2),则

(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0，

从而

图1

解法2 如图1，取MN的中点为G，则CG⊥MN，由极化恒等式得

3)解 ⊙C的方程为

x2+y2+8x+15=0，

整理得

(x+4)2+y2=1，

这是一个以(-4,0)为圆心、1为半径的圆．又直线y=kx上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与⊙C有公共点，则圆心C(-4,0)到直线y=kx的距离d≤2，即

解得

评注研究直线与圆这2个基本图形，关键是抓住通性通法：用坐标法研究几何性质.在解题时一定要从数与形这2个角度入手，既要弄清图形的几何特征，又要熟练应用各种代数工具(解方程组、弦长公式、距离等)，多方联想，选择适当的方法解题，减少计算量.特别是解决直线与圆的综合问题,处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形；圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，建立关系解决问题．第2)小题涉及到极化恒等式并没有出现在三角形中，但仍然适用，其本质就是圆的切割线定理．

2)已知实数x,y满足约束条件

若目标函数z=2x-y+m的最大值为10，则实数m的值为

( )

又zA=1,zB=3,zC=-1，于是目标函数z=x+y的取值范围为[-1,3]．

图2 图3

(x-2)2+(y-2)2≤8(其中x+y≠0)，

图4

评注线性规划考查的题型以选择题、填空题为主，主要抓住以下3点：1)平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)，是否为整数解等，避免失误的重要方法就是让二元一次不等式标准化;2)要注意数形结合思想的运用，目标函数的几何意义可从截距、斜率、距离等方面考虑，特别注意有时是距离的平方;3)要关注特殊点检验法．

解 1)若方程C表示椭圆，则

解得m∈(2,4)∪(4,6).

若方程C表示双曲线，则

(m-2)(6-m)<0,

解得m∈(-∞,2)∪(6,+∞).

2)设|AF|=a，|BF|=b,由抛物线定义知

2|MM′|=a+b.

由余弦定理得

评注这类题目往往是送分题，注重对圆锥曲线的定义与方程的考查，检测基本概念的理解和掌握程度，对不同曲线的几何性质又有不同的侧重考核要求.

1)求椭圆C的方程；

图5

2)如图5，过点M(0,m)(其中m>0)的直线与椭圆C交于点A,B，在直线y=-m上存在点N，使△NAB为正三角形，求m的最大值.

2)显然，直线AB的斜率存在，设其方程为

y=kx+m，

(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,

从而

Δ=100k2m2-4(1+5k2)(5m2-5).

设A(x1,y1)，B(x2,y2),则

设线段AB的中点为P(x0,y0)，则直线PN：

由△NAB为正三角形得

从而

m2(2+5k2)2=15(5k2+1-m2),

得

令1+5k2=t，则

评注解决解析几何综合问题的基本策略：1)利用方程思想，联立消元，结合韦达定理来解；2)设而不求，灵活运用曲线方程来处理；3)结合平面几何知识来处理，很多时候平面几何知识运用得好，可以大大减少计算量.从2017年浙江省数学测试卷解答题第21题第1)小题可以看出，对于程度较好的学生，最好多掌握一些“高考和竞赛接轨的部分，初等数学与高等数学的边缘部分”知识，可以秒杀很多难题.