●岳 峻

(太和中学 安徽阜阳 236600)

一道模考试题的“反刍”*

●岳 峻

(太和中学 安徽阜阳 236600)

数学素养的提升离不开数学解题，文章以一道模考试题为素材，利用模拟试题的“原生性”，认真“反刍”，洞晓其中的奥秘，有意识地研究试题的“题根”，使得思维在形式的变化中得以提升，激活“火热”的思维．

数学解题；反刍；探究；挖掘；激活思维

数学素养的提升离不开数学解题，解题过程中的很多细节，看似平淡无奇，有时充满数学智慧，只有沉下心来仔细斟酌，认真“反刍”，方能洞晓其中的奥秘．思之愈深，道之愈简．

现以2016年广东省广州市一模理科数学试题压轴题为例，探讨其“反刍”的潜能．

1 试题再现

题目 已知函数f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2．

1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为1，求实数m的值；

2)当m≥1时，证明：f(x)>g(x)-x3.

本题简洁明了，问题设置巧妙，第1)小题易得m=0.对于第2)小题的解决，不同思维层次的学生有着截然不同的求解思路，我们会发现本题是命题专家精心设计的具有典型性、选拔性的范例，极具“反刍”的潜能，是数学研究性学习的极佳素材！

2 显性思维的解法

数学解题是一种认识活动，是对数学问题通性通法的继续熟练，寻求解题思路的过程便是寻找已知信息与结论之间的逻辑联系或转化轨迹的过程．由于待证式f(x)>g(x)-x3等价于ex+m-ln(x+1)-2>0，只需证明函数h(x)=ex+m-ln(x+1)-2的最小值为正数即可．

证法1 设h(x)=ex+m-ln(x+1)-2，则

h′(0)=em-1>0，

又h′(-1+e-m)= e-1+e-m+m-em=

em(e-1+e-m-1)<0，

即

ln(x0+1)=-x0-m，

当x∈(0,x0)时，h′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，h′(x)>0，从而

h(x)≥h(x0)=ex0+m-ln(x0+1)-2=

综上所述，当m≥1时，f(x)>g(x)-x3．

点评 在证法1中，

h′(-1+e-m)= e-1+e-m+m-em=

em(e-1+e-m-1)<0

3 心智思维的体现

数学解题更是一种心智思维的活动，付出的有效思维与实施的运算、求解、处理等之间是一对平衡体，即有价值的思考越多则实施的基本运算就越轻松；相反，思维……