岳红英

华北电力大学科技学院 河北保定 071051

在高等数学里有一类常见的函数，它的计算往往和一般的初等函数不同，稍有不慎就会出错，这就是分段函数。本文通过比较两种不同的求解方法对一元和二元分段函数在分段点出的求导问题进行了研究。

一、一元分段函数导数的计算

对于一般的初等函数求时往往用求导公式先求出导函数，则当然定义也是可行的，只是定义用起来通常比较麻烦。而分段函数因为在分断点两侧的函数表达式往往不同，所以其在分段点出有可能是不连续的，此时分段函数在分段点出一定不可导。即使分段函数在分段点出是连续的，但也不一定就可导，一般需用导数的定义或可导的充要条件即左右导数是否相等来判别其可导性。若直接用求出导函数代值（或求极限）的方法则有时会出错，本文通过以下实例对这两种方法进行了比较和研究，并给出了相应的结论。在分段点以外的开区间则常用初等函数的求导方法求出其导数。

例1讨论在和处的可导性，并求。

解法一

显然，所以在处可导且。

综上所述，即

分析 解法一根据可导的充要条件即左右导数是否相等判断分段点处的可导性是正确的。解法二用导函数极限法求分段点处的左右导数求对了，而′1却判断错了，原因是在处是连续的，再求得分段点两侧导函数的极限相等，所以判断f x在x=0处是可导的。而在处不连续所以一定是不可导的，虽然和存在且相等，但导数f′1却不存在。……