田卫东

[摘 要] 用“点差法”求解双曲线的“中点弦”问题时，常常会出现“中点弦”时而存在，时而又不存在的情况，本文通过分析研究，发现了“中点弦”不存在的原因，同时给出如何运用数形结合判断“中点弦”是否存在的方法.

[关键词] “双曲线”；“中点弦”；“点差法”；“思考研究”

在求解圆锥曲线的一类问题时，若题目中给出直线与圆锥曲线相交被截得线段中点坐标的时候，把直线和圆锥曲线的两个交点坐标代入圆锥曲线的方程，然后将两个等式作差，得到一个与弦的中点坐标和斜率有关的式子，从中求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程. 通常我们将与圆锥曲线的弦的中点有关的问题称之为圆锥曲线的“中点弦”问题，把这种代点作差的方法称为“点差法”. 对于“中点弦”问题，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以减少解题的运算量，优化解题过程. 因此，在直线与圆锥曲线的教学中，若涉及弦的中点问题，老师们都喜欢教给学生这种解题方法，学生们也会从各种教辅资料中学会这种方法. 近日，我们正在学习双曲线的有关内容，用这种方法处理直线和双曲线的“中点弦问题”时，出现了一些“小麻烦”，从而也引起了笔者的一些思考.

学生的疑问

在双曲线的习题课上，学生遇到了这样一个问题：已知双曲线方程-=1.

（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A，B两点，若M为弦AB的中点，求直线AB的方程.

（2）是否存在直线l，使1，为l被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l的方程；……