王丽

[摘 要] 初中数学教学有线性与整体性两种思路，前者强调知识的递进性建构，后者强调学生知识建构中需要的知识与能力的立体性. 后者更能够准确分析学生数学学习中需要什么，因而能够给予更准确的指导，更能实现有效教学.

[关键词] 初中数学；整体性；线性

初中数学教学存在一个基本矛盾，那就是数学知识的整体性与课时知识递进性之间的矛盾. 也就是说，数学知识本身是立体的，并不是线性的. 比如我们都知道数学是研究数与形的学科，初中阶段的数在多个知识点中都有体现，从最初的有理数（以阿拉伯数字加上符号表示），到后面描述数之间关系的函数，以及方程. 那么学生对数的认识，怎样建构才是有效的？又如，作为数学知识建构基础的数学建模，其是一种数学思想，也是一种数学方法，在众多的数学知识建构中也都有运用，其又应当如何实施有效的教学呢？更重要的是，学生的数学学习总是一个线性的循序渐进的过程，以时间为序的教学决定了课堂上很难有立体的教学行为——一个知识的建构不可能“东拉西扯”地将所有聯系到的知识都纳入建构过程. 如何认识这样的矛盾？笔者的观点是：线性教学顺序是客观存在的，但教师心中要有数学教学的整体观. 基于整体观去实施教学，尤其是在学生有认知需要的时候，及时提供相应的知识联系，这应当成为初中数学课堂上教师的职业自觉.

从整体性视角研究初中数学知识建构

通常情况下我们研究学生的数学学习过程，往往是从学生接纳某个具体的概念或规律本身出发的，譬如“反比例函数”的教学，在建构其概念的时候，往往就是默认学生已经掌握了反比例概念、函数的概念，再通过一定的示例，得出反比例函数的基本形式，然后定义其为反比例函数，最后进行应用. 其实很多数学知识的建构都遵循着这样的模式，这一模式并非没有可取之处，起码其教学效率是较高的，但其忽视了学生在建构过程中的具体想法，尤其忽视了学生建构反比例概念过程中可能想到的其他一些知识，需要其他一些能力. 这就使得传统的概念教学不可避免地具有灌输的特征.

而将学生的数学学习放到整体观的视角之下就会发现，在教学设计与实际教学过程中需要多一个“关注学习过程中的可能性”的意识. 现仍以“反比例函数”的教学为例，进行具体阐述.

教师设计教学时，需要思考到的知识除了反比例关系与函数之外，还需要考虑如何回忆函数与自变量的关系，需要考虑如何引入函数的三种基本表现形式，需要考虑如何让图像成为函数学习的一种直觉，还需要考虑学生在原有的一次函数学习过程中形成的认知经验——而这种经验又往往是默会的形式，难以用语言表达，教师自身对学生这种默会知识的理解也常常是默会的，只能凭着教学过程中的一种感觉去判断，而判断水平的高低则由教学经验（不是教学年龄）来决定.

在课堂教学中，教师则需要根据学生建构反比例函数概念与实际运用时的反应，判断应当采取的教学措施. 这里强调的整体观，主要体现在教师对学生建构反比例函数的整体过程的把握，这里要特别强调反比例函数概念构建的背景或者说情境，良好的情境可以让学生调动所有的知识基础与思维，去努力构建对反比例函数的认识. 而如果缺失了这个背景，学生很有可能滑入机械记忆的泥沼. 当然，这里还有一些思想方法的因素，如从特殊到一般（分析与综合）、从具体到抽象（数学建模与数学抽象）、数形结合等，这些方法又是普遍应用的，在反比例函数的教学中，更多的属于一种思想方法的变式运用.

建立了这样的整体性教学视角，教师就可以保证在实际教学中能够有效地应对学生的各种可能性（这是教学中出现生成的关键，也是教学中出现精彩环节的关键）. 也就是说，整体性的视角可以保证教师更好地面对课堂上出现的各种情况，并且做出更为科学的判断，采取更为科学的措施.

基于学生的认知需要实施整体性教学

在初中数学教学中建立整体性视角，实际上是基于学生的认知需要而做出的选择. 如上所说，学生在数学学习过程中的思维活动并不是教师所想的那样简单，甚至可以说任何人都无法准确地描述学生学习的具体过程（这一点并不奇怪，就是让教师描述自己的教学过程，那也是十分困难的事情，或者说是不可能的事情. 国内外有关默会知识的研究就说明了这一点）. 但是，在教学中，教师应当尽可能了解学生的学习心理过程，尤其是学生在学习中遇到困难时的所思所想，这样才能真正做到因材施教. 也就是说，因材施教这一教学基本原则其实是建立在整体观的基础之上的.

这里还是举“反比例函数”教学的例子. 整体观教学视角下，笔者的教学设计包括这样几个部分：一是在概念引入的环节精心选择几个具体的事例，以引发学生产生必须建立新的概念（实际上也是一种数学模型）才能解决面临的实际问题的意识. 二是利用分析与综合的思想方法，引导学生概括出不同事例中的共同属性，以确定最终的共同特征. 这时的共同特征往往是通过生活语言来描述的，或者仅仅是一种感觉. 此时，学生的理解可能性很多，尽管最终的目的可能一致，但其途径一定有所不同. 三是利用数学语言去抽象学生建立起来的表象，然后进入下定义的教学环节. 在这个过程中，从生活语言向数学语言转换，决定了课堂上出现的是一种殊途同归的情形，这个过程中教师要关注不同的学生个体，尤其是他们遇到的抽象过程中的困难，并给予帮助.

到了具体的课堂上，就按照上面的三个组成部分实施教学，因为已经充分考虑了学生学习中的各种可能性，因此过程一般会比较顺利. 这里笔者举几个细节来具体阐述.

细节一：反比例函数的图像与性质学习中. 当提出反比例函数的图像是什么样子时，学生普遍的思维形式是直接思考可能的图像形状，这是一种直觉性的但水平很低的思维方式，也基本上想不到正确的样子. 因此此时教师要从学生的思维角度出发，对学生的学习进行指导. 具体的指导途径倒不难，就是提醒学生回忆所学过的一次函数的图像是如何得到的. 学生自然就会想到描点法. 到了这个时候，学生又会分成两类：一类是立即动手去寻找数据，确定点，然后描点；还有一类学生会不急着动手，而是凭着自己的想象去猜想，这个猜想不是没有依据的猜想，而是有思路的猜想. 事实证明，后者往往是数学猜想能力较强的学生，对前者的指导就是确定点需要精确，对后者的指导就是培养他们想象表象的构建能力. 这是不同的指导，也是整体观教学设计下的产物.

细节二：给出一些具体的反比例函数图像，让学生判断这些函数图像分别处于哪些象限，并判断函数随自变量变化的趋势. 这里的一个重要工作，是让学生基于不同的函数进行分析与归纳，然后得出一般性的结论. 这也是一个需要因材施教的过程，因为教学实践中笔者注意到的情形是：有些学生只满足于单个问题的解决，缺乏寻找共性的意识，这就导致他们不能在原有水平上更進一步. 这些学生所需要给予的指导就是同中求异、异中求同思维的指导；还有一部分学生知道要总结共同点，但是不能有效地发现共同点，这实际上是思维能力有问题（不是思维意识有问题），于是教师所给予的指导应当更细致一点，应当具体到问题的细节当中，指导学生寻找几个题目的共同点. 这类学生的思维能力一般来说比前一种要弱，因此指点需要更为精细.

在教学反思中提升整体性的教学认知

通常情况下，数学教学中难以建立整体观，其中一个重要的原因就是应试. 在应试这根指挥棒所指挥下的教师，基本上在数学课堂上都是线性教学的模式，而不是整体的、立体的教学模式. 在这种情况下，只有教学反思才能有效地帮教师走出教学惯性，真正建立起整体的教学观. 具体来说有以下两个方面.

1. 整体的知识观

教师头脑中的知识体系一定需要是整体的，这个判断可以依照自己的复习思路来进行. 在数学复习过程中，以知识为序进行复习，还是以知识框架（或者思维导图）来实施复习，这是两种不同的思路. 前者就是线性思维，而后者就有很典型的整体性特征. 尤其是思维导图，其往往是在学生思维延伸的过程中体现实际思维的特征，延伸到哪里往往就知道学生在哪些知识的掌握上比较顺利，而无法延伸的就是复习过程中需要努力的. 通过对复习模式的反思，可以让学生知道自己整体观所处的层次.

2. 整体的学生观

这一观点即是如何理解学生的学习，如果认为学生的学习需要循序渐进，因此教学就需要依次进行，这极有可能是线性观的教学思维. 而如果认为学生在学习某个知识的时候，需要综合运用到相应的知识基础，需要运用到不同的能力支撑，那这种思维一般就是整体观下的思维. 这种思维所导致的教学，往往是根据学生的学习需要而“对症下药”的.

总的来说，初中数学教学中建立整体观，更贴近学生建构知识的实际，因而更容易实现有效教学.