王海燕

[摘 要] 上好一轮复习课，对学生系统地学好数学，发展思维能力，适应选拔性考试的需要的重要性大家都是很清楚的. 真正上好复习课并不是轻而易举的事，复习课要尽量使学生感到有收获、有乐趣、不枯燥乏味. 如果不精心安排，不精心设计，就达不到预期的效果.

[关键词] 发散思维；小题大做

高考一轮复习是目前数学教学中很重要的一部分. 很多教师都认为复习课不好上，效率低，平时一贯的做法是：复习基本知识与方法，例题精讲，课后练习巩固.实际上，基础复习往往流于形式，大量的时间、精力浪费在解题上，基础复习与解题教学“油水分离”，呈现的是“题海战术”，一味地让学生练习，造成一种“烫剩饭”的感觉.

基础不扎实，复习就是无源之水、无本之木. 如何很好地复习基础呢？知识的理解在于联系，理解的深度在于应用. 基础复习与解题分离学生可能无兴趣、不刺激，所以要注意两者的有机融合，要注重选好“点”，然后从点到线，由线及面，做到以一点串一线、连一面；注意知识间纵横间的联系和比较，构建知识网络，在帮助学生理清知识脉络时，可根据复习内容和教学信息容量的多少，分项、分步进行整理，将所学知识前后融会贯通，做好“小题大做”的文章.

案例：已知α∈R，sinα+2cosα=，则tan2α=（ ）（2013年浙江高考理科第6题）

A. B.

C.- D. -

看到这道高考题后，有似曾相识的感觉，直觉想到它应该改编于sinα±cosα与sinαcosα这组关系式.首先，将题目难度降低，改编为：

若α为三角形的内角，且sinα+cosα= -，求tanα的值.

在传授新课时，往往受一些条件的限制，不能彻底地展开讲解，而在复习课中则刚好可以弥补这一缺陷. 三角函数求值问题是三角函数问题的重要类型之一，此题可以从不同角度和不同层面展开分析讨论.

[?] 常规消元，殊途同归

因为tanα=，所以要求出tanα的值，基本思路是先求sinα，cosα的值，消元是基本方法，引导学生利用“sin2α+cos2α=1”进行求解.

解法一：联立方程组

由条件可得sinα=--cosα，代入sin2α+cos2α=1中可得cos2α+·cosα-=0.

所以cosα=或 -.

当cosα=时，sinα=-，则tanα=-3；

当cosα=-时，sinα=，则tanα=-.

考虑到α为三角形的一个内角，则sinα>0，所以tanα=-.

解法一的总结与反思：解法一直接利用同角三角函数的基本关系式，消去sinα的实质是三角函数求值问题中“消除三角函数名称差异”的变换方法，同时利用构建方程组的思想使问题得以解决.只是在方程组求解过程中两边平方，这可能产生增根，必须检验，于是提出问题“在求解之前，能否先确定tanα的符号呢”.

变式题1：若sinα+cosα=，α为三角形内角，判断三角形的形状.

要解决这个问题在于，可以对角α的范围进行讨论.利用三角函数线的知识来确定α的范围，借此复习三角函数线的知识.

单位圆中（如图1所示）：

当α为第一象限角时，由sinα+cosα=MP+OM>OP，可知sinα+cosα>1.

当α为第二象限角时，由sinα+cosα= MP-OM

由此可判定α为钝角，三角形为钝角三角形.

解法二：平方策略

利用“sin2α+cos2α=1”这一平方关系式，

可以将sinα+cosα=-两边平方得1+2sinαcosα=，

即2sinαcosα=-<0.

又α∈

，π

，则sinα>0，cosα<0.

又因为1-2sinαcosα=（sinα-cosα）2=，所以sinα-cosα=.

与sinα+cosα=-联立，可得sinα=，cosα=-，则有tanα= -.

解法二的总结与反思：在三角函数的变换求值中，已知sinα+cosα或sinαcosα中的一个，可利用方程的思想求出另外两个式子的值.此解法虽然过程复杂，但“平方策略”属于常见的解题方法，思路清晰，步骤清楚，是最容易在直觉中产生的解法. 解法二适时地对角的范围进行讨论，这充分体现了“函数问题，范围先行”的解题原则.

變式题2：求y=sinα+cosα+sinαcosα的范围.

利用解法二的思路，变式题中只要令sinα+cosα=t，则有sinαcosα=，换元可得y=t+，再通过配方，问题马上迎刃而解. 解法二的实质是希望通过求解sinα，cosα，再利用tanα=，进而求得tanα的值.我们可以联系二次函数韦达定理得出下面的解法.

解法三：

sinαcosα=-，sinα+cosα=-.

易知sinα，cosα为方程x2+x-=0的两实根x1=，x2=-.

由sinα>0，cosα<0可得sinα=，cosα=-，从而tanα=-.

解法四：

因为sinα+cosα=-，构造式子cosα-sinα=A.

两式分别平方相加可得A2=.

由cosα<0，sinα>0，则有cosα-sinα= -.

于是联立上式与已知式子可轻松求得sinα=，cosα=-.

于是tanα= -.

有时候“无中生有”使题目多出一个条件，也不失为一种好的解题思路. 在数学解题过程中，合理地构造形式相似，具有某种对称关系的式子，通过适当的运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果.

[?] 透过现象，看透本质

三角函数的求值问题，主要借助于消除三个方面的差异进行解答，即消除三角函数名称差异或者式子结构差异或者角度之间的差异.而在此题中，角度已经统一了，如果我们能直接将条件中的sinα，cosα转变为tanα，将是解决这个问题的最直接、最有效的方法.

解法五：

利用sin2α+cos2α=1这一平方关系可求得（sinα+cosα）2=（sin2α+cos2α），

可得3tan2α+10tan2α+3=0，即（tanα+3）（3tanα+1）=0，

即tanα=-3或tanα=-.

当tanα=-3时，sinα=，cosα= -，

这与sinα+cosα=-矛盾，所以tanα= -.

解法六：

设tanα=a，则有sinα=acosα，联立sinα+cosα=-，

则sinα=-，cosα= -.

代入sin2α+cos2α=1中，

可得3a2+10a+3=0，于是a=-3或-.经检验，a=-3舍去.

解法五利用常数代换的思想将“1”换成“sin2α+cos2α”，再根据齐次式的特征，直接求得了tanα的值. 解法六的本质是通过换元使得问题得到简化，同时体现了解题中常用的“求什么，设什么”的思想方法.

[?] 回归定义，追本溯源

以上所有的解法都用到了三角函数的基本关系式，其实三角函数的基本关系式是由定义推导得出的，定义是一切问题的根本.

解法七：

设P（a，b）为角α终边上任意一点，P到原点O的距离为r，则r=，sinα=，cosα=，代入已知式子中有+= -.

两边平方得（a+b）2=（a2+b2），化简可得3a2+10ab+3b2=0.

即（3a+b）（a+3b）=0. 经检验，tanα= -3舍去，则tanα=-.

利用三角函数的定义解题是比较容易忽视的方法，应充分认识定义的解题价值，回归定义，经常会有特别的收获.解题是不断尝试的过程，需要信心和敢想敢做的勇气，很多巧妙的解题方法都来源于大胆的想法，始终要相信题目都是从定义“编”出来的.

[?] 因时而异，顺势而导

结合2013年这道高考题，将题目改为选择题：

若α为三角形的内角，sinα+cosα= -，则tanα等于（ ）

A. - B. -3

C. D. 3

将题目变为选择题后，可以从选择支的角度重新分析这个题目. 我们经常会说，选择题不要“小题大做”，做选择题要灵活多变，可以采用排除法、特殊值法、转化法等多种方式求解. 观察分析和联想能力在解题能力中有很重要的地位，联想有关的公式和常见变形，sinα+cosα的常见变形还有：sinα+cosα=sin

α+

. 于是，对已知条件进行适当变形， 进而求出α所在区间，再利用三角函数性质求解.

解法八：

由sinα+cosα=sin

α+

= -，

得到sin

α+

=-<0.

从而π<α+<π，即<α<π.

又y=tanα在

π，π

上递增，所以 -1

解法九：利用排除法求解

由上面的解法可得α是钝角，又sinα+cosα<0，则

sinα

<

cosα

，从而

tanα

<1，则tanα=-，答案为A.

解法九的收获：学习数学，要培训对数据的敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当地猜想和论证，这样能有效地提高解题速度. 我们从多个角度分析同一问题，就会得到多种解法.这样在能力提到提高的同时，同学们的成就感也会随着每做出一道题而增强，并且在解答题目的不同途径中，学习数学的兴趣也会越来越浓.

解法十：由sinα+cosα=-容易联想到sinα与cosα的一对数据：与-.

当sinα=，cosα=-时，可以满足题设要求，则tanα=-.

再回到2013年的高考题：

已知α∈R，sinα+2cosα=，则tan2α等于（ ）

A. B.

C. - D. -

以上这些解法都适合这道高考题，但观察到高考题与改编例题最大的区别在于所求结果不同，根据已知条件与所求结果中角的关系不统一，解决这个高考选择题的最佳方法是通过公式统一角度.

由已知可得（sinα+2cosα）2=，化简得到sin2α+4sinαcosα+4cos2α=. 于是2sin2α+3cos2α=，则有2sin2α+cos2α=0，所以tan2α=-.

以小题大做、一题多解的形式上复习课，就是在数学复习中把一些小题作为范例，利用它起点低、入手易的特点，在这些题上大做文章，或变换它的角度，或把它引申、拓展、变式等，以便深化学生对基础知识的理解，完善学生的知识结构，培养学生思维的广阔性. 這样，学生脑海中储存的大量信息就会被充分地调动起来，从一道题中找出不同的切入点和突破点，运用不同的数学方法求解.通过这样一题的讲解练习，学生能够解决相关的一系列问题.如果说新授课是“画龙”，复习课则是“点睛”，达到温故知新、提高能力的目的. 复习课切实有效，就要同时兼顾不同层次的学生，使每一位学生都学有所得.