☉江苏省南通市天星湖中学 成倩文

一道高考题的解法引发的教学思考

☉江苏省南通市天星湖中学 成倩文

平面向量是高中数学课本中的一个重要内容，与诸多内容广泛联系，错综复杂.向量兼备代数与几何双重形式，是解决数学问题的重要工具，其中最精彩的当属“向量的数量积”，这也是历年高考中的必考内容.本文就以2016年高考江苏卷第13题为例，谈谈笔者对此题的分析以及一些常见解法和特殊解法，再借助新颖特例强化向量的数量积的基本方法，最后再回归到平时的课堂教学过程中，进一步完善教学方法.

一、分析高考题，赏析多种解法

图1

对于向量的数量积问题，一要掌握数量积的定义及数量积的公式，二要理解数量积的几何意义，三要熟练数量积的坐标运算公式，四要会借助一组基底灵活“拆”、“分”一个向量.而本题没有（或不易求出）所求向量的长度，所以只能利用向量坐标法和基底法解决问题了.具体方法如下：

评注：同样是基底法，方法一比较常见，选择一组基底表示向量，则整个问题相当于转化为这两个未知数（基底），较为简便地解决了问题.方法二则比较新颖，更换基底并用新的基底表示，再把向量都化为这组基底，体现了逆用思想.

方法四：建系之特殊化（△ABC视为等腰三角形）.

由题意知，点B，C关于点D对称，故可令AB=AC，即△ABC为等腰三角形，以BC边所在直线为x轴，BC边的中垂线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设C（a，0），B（-a，0），A（0，b），则=（a，b）·（-a，b）=b2-a2=4.

评注：同样是建系……