☉内蒙古赤峰市赤峰二中 孙广仁

例谈分类讨论在解题中的运用

☉内蒙古赤峰市赤峰二中 孙广仁

分类讨论的思想方法是中学数学的基本思想方法之一，是历年高考的重点.函数试题中含有需讨论的参数，是历年高考的热点.然而在分类讨论时，讨论的标准是什么？怎样进行分类讨论？如何在分类时，做到不重不漏？很多学生知道利用分类讨论，但是不知道该如何进行，往往很混乱.基于这些问题，本文以近几年的高考题为例，谈谈分类讨论在解题中的运用.

一、利用数形结合进行分类讨论

正确、合理运用数形结合是学好高中数学的关键，因此要培养学生数形结合的能力，并会根据数形结合进行分类讨论.

例1关于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+k=0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是（）.

A.0B.1C.2D.3

解：据题意可令|x2-1|=t（t≥0），①则方程化为t2-t+k=0.②作出函数y=|x2-1|的图像，如图1，结合函数的图像可知，

图1

（1）当t=0或t＞1时，方程①有2个不等的根；

（2）当0＜t＜1时，方程①有4个根；

（3）当t=1时，方程①有3个根.

所以，当t=0时，代入方程②，解得k=0，此时方程②有两个不等根t=0或t=1，故此时原方程有5个根.

作出函数的图像，要使函数与y=kx-2有两个不同的交点，则直线y=kx-2必须在阴影部分内，如图2，此时当直线经过右上区域时B（1，2），k满足1＜k＜4；当经过左下区域时，k满足0＜k＜1.

综上实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）.

图2

二、利用数轴标根进行分类讨论

数……