☉四川省成都市彭州中学 刘大华 黄秦安

一类无理不等式的简证、推广与猜想

☉四川省成都市彭州中学 刘大华 黄秦安

一、问题

文［2］又给出了一道多重根式不等式征解问题：

两道多重根式型不等式属于同一类无理不等式，它们在形式上十分优美，在本质上问题1显然是问题2的加强，即证明了问题1，问题2也就随之得证.然而无理不等式证明渠道多，技巧性强，如换元法、待定系数法、柯西不等式法、放缩发等.对于此类无理不等式，原文给出的证法是先构造两个数列，再根据数列的增减性放缩证明，过程十分繁杂，且构造和放缩本身都具有很大的思维推进障碍.

二、简证

分析：将根号去掉，化无理式为有理式是该题证明的核心，要实现此目标需经两次放缩过程，第一次运用简单不等式“n≤4n-1，n∈Z+”予以放缩，第二次看似“无中生有”地加“1”，实则将无理式“4n-2+”配成了完全平方式“

即问题1得证.

评注：上述简证干净、利落，当最里层的被开放部分放缩成完全平方式后，产生层层开方的连锁效应，不等式便获证.

三、推广

罗增儒教授说过：“问题一旦获解，就立刻产生感情上的满足，从而导致心理封闭，忽视解题后的再思考，恰好错过了提高的机会，无异于‘入宝山而空返’.”受此教导，笔者在将问题解决后习惯性地尝试多角度展开思绪，以求扩大战果.

思考1：在问题1、2中，层层被开方数“1，2，3，…，n”显然是公差为“1”的很简单等差数列形式，能否弱化条件，将其推广为公差为任意实数“a”的等差数列“ka，（k+ 1）a，（k+2）a，…”的形式？……