☉江苏省常熟市尚湖高级中学 江 政

问题审视的几个关键点

☉江苏省常熟市尚湖高级中学 江 政

审题是解题的关键环节，问题的求解，都是从审题开始的.那么审题都审什么？

1.审条件

条件是题目直接给出的信息，是我们解题的依据，但这里的条件，不仅仅是直接给出的条件，还有隐含的条件，即由所给条件直接或间接得出的一些结论，都是条件，这些条件往往是我们解题的关键部分.

2.审结论

所求的结论是什么？结论与条件有什么关系？结论的求解有哪些方法？针对这一结论，哪一个方法才是最合适的方法？

下面以导数背景下的不等式恒成立问题为例，说明问题审视中的几个关键点.

例1已知函数f（x）=lnx-a·sin（x-1），其中a∈R.

（1）如果曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是-1，求a的值；

（2）如果f（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围.

一、通过审题明确问题的本质

导数是研究函数单调性的有力工具，利用导函数的正负可判断函数的增减.本题第（2）中条件所给的是“f（x）在区间（0，1）上为增函数”，即“f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立”，则问题转化为不等式恒成立问题.而不等式恒成立问题的求解，通常转化为函数最值问题处理，即构造目标函数，求函数最值.本题已知函数关系式中含有三角式，则问题求解中要注意三角函数有界性的应用.

解析：（1）略.

（2）因为f（x）在区间（0，1）上为增函数，

所以对于任意x∈（0，1），

令g（x）=x·cos（x-1），

所以g′（x）=cos（x-1）-x·sin（x-1）.

因为x∈（0，1）时，sin（x-1）＜0，所以x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，

所以0＜g（x）＜g（1）=1.所以a≤1.

故a的取值范围是（-∞，1］.

评析：本题的求解中借助了“二次求导”，即提取函数解析式的……