☉江苏省泰兴市第二高级中学 毛玉峰

例谈“绝对值三角不等式”的研究与拓展

☉江苏省泰兴市第二高级中学 毛玉峰

绝对值三角不等式是人教版选修4-5中的重要内容之一，它是求解含有多个绝对值符号的函数最值问题最有力的解题工具.在近几年的高考与竞赛中，含有多个绝对值符号的函数最值问题已是屡见不鲜.学生遇到这样的问题，往往都是通过分类讨论，分段求最值来处理，运算繁杂且很容易出错.“绝对值三角不等式”中蕴含了拆项、添项、配凑等数学方法，如果考生能够熟练掌握、灵活应用，在解题时就能达到事半功倍的效果，下面举例来进行说明.

一、定理展示

定理：如果a，b都是实数，那么|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.

把定理中的实数换成向量a，b，结论依旧成立，它的几何意义是三角形两边之和大于第三边，等号成立的条件是a，b同向.由于定理与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等式为绝对值三角不等式.

二、推广拓展

在处理具体问题时，仅靠上述定理是远远不够的，多数情况要用它的推广拓展：

结论1：∀a，b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.（右边“=”成立⇔ab≥0，左边“=”成立⇔（a+b）b≤0）

结论2：∀a，b∈R，则|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.（右边“=”成立⇔ab≤0，左边“=”成立⇔（a-b）b≥0）

结论3：∀a，b∈R，则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.（右边“=”成立⇔ab≥0，左边“=”成立⇔ab≤0）

结论4：∀a，b∈R，则||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.（右边“=”成立⇔ab≤0，左边“=”成立⇔ab≥0）

结论5：（1）设x1≤x2≤…≤x2m，m∈N*，则当x∈（xm，xm+）1时|x-xi|取得最小值；

结论6：设x1≤x2≤…≤xn，n∈N*且n＞1，则

结论7：（1）设x1＜x2，m，n∈N*且n≥m，则当x=x1时，n|x-x1|+m|x-x2|取得最小值；

（2）设x1＜x2，m，n∈N*且n≤m，则当x=x2时，n|x-x1|+ m|x-x2|取得最小值.

三、研究与应用

（一）求最值或证明题

例1已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间［-1，1］上的最大值.

（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；

（2）当a，b满足M（a，b）≥2，求|a|+|b|的最大值.

此题是浙江的一道高考……