☉甘肃天水市一中 宫前长

本是同根生，如此奇异争
——2016年高考北京卷两道解析几何试题的探究与思考

☉甘肃天水市一中 宫前长

一、例题呈现

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|·|BM|为定值.

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

二、试题特征剖析

上述文、理试题的设置背景都是基于一个椭圆（根），只是给出椭圆的标准方程的求解方式不同而已，最终所得的椭圆方程都是+y2=1，命题老师主要考虑到文、理学生的学习层次和理解程度的差异，命制不同方式，让每一位学生都能够求出椭圆的标准方程；文、理题目均设置具有递进结构的两个小问，力求注重基础，稳中求变，通过第（2）问的细节来控制试题的难度，完全符合新课标的要求和数学教学理念，是北京卷中难度较大的一道好题.

例题1、2的条件给出的椭圆的标准方程结构表明在焦点在x轴上，如何求其方程呢？例题1的第（1）问需要借助离心率和三角形的面积公式，利用方程组求得椭圆的标准方程，但例题2是给出椭圆的两个顶点坐标，可以直接写出椭圆的标准方程和离心率，比起例题1的第（1）问简单多了，属于送分小题，也符合文科学生学习解析几何的心理要求.

接着观察第（2）问，发现意味深长的命题特征：理科“P是椭圆C上一点”表征“点P的任意性”，而文科“P为第三象限内一点且在椭圆C上……