南京金陵中学河西分校(210019) 李玉荣 ●

昭示转化思想 凸显平移方法
——探究一道中考题的解法

南京金陵中学河西分校(210019) 李玉荣 ●

题目 如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC，(1)如左图，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明;(2)如右图，E是直线BC上的一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗?若是，请求出它的度数;若不是，请说明理由．

这是2015年山东省荷泽市中考数学试卷的第20题(倒数第2题)，此题以常见的基本图形为载体，以“判断结论、论证结论、探究问题”的形式逐步展开，将全等三角形、等腰直角三角形的典型知识有机地结合，由浅入深、一气呵成，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力，较好地体现了“源于基础、重在思维”的评价理念．第(1)小题是基础题，通过证明△DBC与△FAD全等，可知△CDF为等腰直角三角形;第(2)小题是一道探究性问题，考生可利用图形度量，合情推理出∠APD=45°，但怎样求出这个结果呢?

一、思转化，找到破解之门

解析 一般来说，45°角的问题与等腰直角三角形密切相关，而第(1)小题恰好得到了一个等腰直角三角形，因此，应设法将右图转化为左图，只需要“过点A作AF⊥AB，并截取 AF=BD，连接 DF、CF．”由第(1)小题知∠FCD=45°，只需证明FC∥AE，这已显而易见，从而可得∠APD=45°．

解法1 (1)略;(2)如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF、CF，

由(1)知∠APD=45°，AF=BD=CE，又AF∥CE，所以四边形AFEC为平行四边形，所以FC∥AE，从而∠APD =∠FCD=45°．

评析 此解法的设置体现了以人为本的原则，命题者以第(1)小题为铺垫，昭示了第(2)小题应通过转化实现目标，而“AF=CE，且AF∥CE”，等价于“将CE沿AE平移至AF”，凸显了“平移”这个重要解题方法，从平移的角度思考本题，以“AD=BC或CE=BD，”为线索，还可以探寻其它解法．

二、重平移，寻求解题它法

1．平移AD

解法2 如图2，将线段AD沿AE平移至EF，连接CF、DF，则四边形AEFD为平行四边形，Rt△BDC≌Rt△EFC，可证DC=FC，∠FCD=90°，从而∠CDF=45°，又AP∥DF，所以∠APD=∠CDF=45°．

解法3 如图3，将线段AD沿DC平移至CF，连接AF、EF，则四边形AFCD为平行四边形，Rt△BDC≌Rt△CEF，可证FE=CD=FA，∠AFC=∠D，∠CFE=∠BCD，从而∠AFE=∠AFC+∠CFE=∠D+∠BCD=90°，所以∠FAE=45°，又AF∥DP，所以∠APD=∠FAE=45°．

2．平移CE

解法4 如图4，将线段CE沿CD平移至DF，连接AF、EF，则四边形CEFD为平行四边形，Rt△BDC≌Rt△DAF，可证FE∥DC，FE=DC=FA，∠BCD=∠DAF，所以∠DAF+∠ADC=∠BCD+∠ADC=90°，从而∠AHD= 90°，得AF⊥PD，所以AF⊥FE，故△AFE为等腰直角三角形，所以∠APD=∠AEF=45°．

3．平移BD(或BC)

解法5 如图5，将线段BD沿BC平移至CF，连接DF、EF，则四边形BDFC为平行四边形，△FCE为等腰直角三角形，所以，可得，从而Rt△AFE∽Rt△DFC，所以∠EAF=∠CDF，又∠AMP=∠DMF，所以∠APD=∠AFD=45°．

此题设计巧妙、变化自然，考查了学生思维的迁移能力及在解题过程中提炼方法和经验的能力，体现了命题者的独具匠心，解题者若能洞察命题者的意图，会将第(2)小题转化为第(1)小题求解，事半功倍，转化为“本”;作为教师，研究此题的解法，从中找出其规律性的东西，平移为“源”，内化为方法为教学服务、为学生所用．义务教育《数学课程标准》(2011版)明确指出:推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中．推理是数学的基本思维形式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，作为研究图形性质的有效方法和工具，“合情推理”与“演绎推理”相辅相成，如何在中考试题中得到有效考查，此题无疑做出了很好的诠释．我们为这样的好题点赞!

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