福建省泉州第五中学(362100) 杨苍洲 ●

利用对称求解最值的一种方法
——从“将军饮马”说起

福建省泉州第五中学(362100) 杨苍洲 ●

有这样一个传说:古希腊有一位名叫海伦的学者，有一天，一位将军向他请教了一个问题:从A地出发到河边MN去饮马，然后再回到驻地B．问怎样选择饮马地点，才能使路程最短?如何确定饮马的地点?提起路线最短的问题，大家知道:连结两点之间所有线中，最短的是线段．一位学者曾幽默地说，这一点连狗都知道．狗抢骨头吃时，决不会迂回前进，而是径直向骨头扑去．但是，这个题中马走的是一条折线．这又该怎么办呢?

问题转化为:在直线MN的同侧有两个定点A、B，试在直线MN上确定一点D使得AD+BD取得最小值?

解决方案:作点B关于直线MN的对称点B'，连结AB'，交直线MN于点D，则点D为所求点．因为BD=B'D，∴AD+BD=AD+ B'D=AB'．而选择直线MN上的任何其他点，如E点，则路程AE+BE=AE+B'E＞AB'，所以点D即为所求点．

这是利用对称求解最值的一种方法——我们常总结为“同侧和最小”．下面我们就此方法的应用举例说明．

一、在坐标系中考查

___在坐标系中，几种常见对称点的求法我们必须掌握好:

对称轴 x轴 y轴 直线y=x 直线y=－x P x0，y ()0 P1(x0，－y0) P2(－x0，y0) P3(y0，x0) P4(－y0，－x0)

掌握了上述几种特殊的对称后，我们就能熟练地求解点关于某特殊直线相应的对称点，再利用对称的性质判断出取得最小值时所在的位置．而在求解此最小值时，往往可以构造直角三角形进行求解．

例1 在平面直角坐标系xOy中，有两点P ( －1，1)，是x轴上任意一点，则PM+QM的最小值是

解析 作P ( －1，1)关于x轴的对称点 P'(－1，－1)，连接P'Q交x轴于点M，则PM= P'M，∴PM+QM=P'M+QM =P'Q，此时PM+QM取得最小值。……