看似无“圆”却有“圆”
——辅助圆巧解直线型问题
2017-04-13湖北省宜城城关中学441400李继芸
数理化解题研究 2017年2期
关键词：利用
湖北省宜城城关中学(441400)) 李继芸 ●
看似无“圆”却有“圆”
——辅助圆巧解直线型问题
湖北省宜城城关中学(441400)) 李继芸 ●
近几年的中考题中出现了一种纯直线型几何题，但是利用直线型知识解答此类问题过于繁琐，甚至无法找到解题的思路和途径．遇这类问题我们要另辟蹊径，仔细分析题意，挖掘与圆的巧妙联系辅助于圆，便可化繁为简，化难为易，从而“圆”满地解决问题．
一、利用圆的定义作辅助圆
例题1 如图1，AB=AC=AD且∠CAD=76°，求∠CBD的度数．
解析 由AB=AC=AD，易联想到圆的定义画辅助圆，可知点B、C、D在以点A为圆心，AB为半径的圆上．从而依据同弧所对的圆周角是圆心的角的一半即可求解．
点评 当遇到有公共端点的几个条线段等长时，通常可根据圆的定义，以公共端点为圆心，等长的线段为半径构造辅助圆，利用圆的有关知识来解决问题．
二、利用直径所对的圆周角是直角构造辅助圆
例题2 如图2，△ABC中AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，点M为AB的中点，求证:∠DME=2∠CAD．
解析 以点M为圆心，AM为半径作⊙M，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证:AM=EM=DM =BM，所以A、E、D、B四点在⊙M上．利用同弧所对的圆周角(∠CAD)等于圆心角(∠DME)的一半即可求解．
例题3 抛物线y=ax2+bx－2经过点A(－1，0)B(4，0)交y轴于点C，动点P(m，n)在抛物线上，
(1)求抛物线解析式和顶点N的坐标;
(2)当∠APB为钝角时，求 m的取值范围．
点评 遇到有公共斜边的两个直角三角形(直角可以在公共边的同侧或是异侧)的情况都可以利用直径所对的圆周角是直角构造辅助圆来解决问题．
