浙江省桐庐县分水初中教育集团(311519) 胡柳青 ●

巧用广义约分，避免分式增根

浙江省桐庐县分水初中教育集团(311519) 胡柳青 ●

解分式方程是初中数学的重点之一，现行教材中只介绍了一种最基本的解法，把分式方程的两边同乘以各分式的最简公分母，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，还强调了解分式方程有增根，解后必须验根．分式方程采用这种解法显得十分繁琐，对某些较复杂的甚至无能为力．那么分式方程的求解时能否不产生增根，从而不需要验根，方法是否还可以更为简便些呢?这得从分式方程中的增根是如何产生说起，请看下例:

解 在方程两边都乘以(x+3)(x－3)，得3(x+3)－(x－3)=18②．解这个整式方程得x=3．把x=3代入原方程，分式的分母均为零，分式没有意义，所以x=3是方程的增根，原方程无解．

从上述解法中，可明显得出:增根是在将分式方程进行变形转化为整式方程之后产生的．一般情况下，分式方程在经过变形之后字母的取值范围往往发生了变化．如①中字母x的取值范围是x≠±3，去分母后得到的方程②，就将x的取值范围扩大到了全体实数，这就是造成增根的根本原因．简单地说，方程中字母的取值范围的变化造成方程根的变化，计算过程将字母的取值范围扩大的话就造成增根，计算过程将字母的取值范围缩小的话就造成失根;不改变字母取值范围的话，根的情况就不会有变化．对于分式方程而言，本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好在原方程未知数的允许值之外，那么就会出现增根．简而言之，分式方程的增根是在解答过程中出现的，是在去分母的过程中产生的．其实最严格的变形(等价变形)是不会产生增根的，因为字母的取值范围不会发生变化．我们是否可以认为是用了不恰当的解答方法——去分母求解分式方程，才导致分式方程出现了增根．

将分式方程转化为整式方程来求解，是各版本教材所推荐的，其优点是较为方便、快捷，也与学生前面所学的解整式方程的知识是紧密联系在一起的，有利于知识的同化与顺应、知识的建构，然而却容易产生增根，需代入检验，从而导致解分式方程的方法较为繁琐．上述方程如果采用通分或约分的方法进行求解，则解答过程中并不会产生增根．解法如下:

方法1 由分式的性质可得，分式的值为0时，分子为零，分母不为0，即:2x－6=0，x2－9≠0，所以原方程无解;

这样解分式方程，增根都去哪儿了?正如前文所述，增根产生的原因是去分母时不符合同解原理，那么在解分式方程时，每一步变形都遵从同解原理的话，自然也就不会产生增根了．方法1利用通分来求分式方程的解时，先通分(不约分)转化为A/B=0，然后利用分子为零，分母不为0，得到方程的解，这一过程中依据的是分式的性质，没有不等价变形，所以没有产生增根．这种求解过程较为复杂但是规范可行的．我们已经学过了分式的概念与运算、因式分解的相关知识，解法中的每一步都是学生熟悉的，每一步也都是符合同解原理的，是等价变形．这样解方程避免去分母这一过程，避免增根的产生，省略了检验的步骤，从而降低了解题的难度．方法2中，约分却是不等价变形，解题过程中这一不等价变形会造成了原方程失根，上述方程④中还有根x=3，而从④到⑤，分子分母同时约去了(x－3)这一公因式，失去了x=3这个根，幸运的是这一因式产生的根x=3恰恰是用去分母解方程产生的增根．此种解法通过失去增根使得解方程的过程没有产生增根，是不是有点象负负得正了．而且这种求解的方法不用检验，因为约分后方程更为简单，求解过程看起来更为有效，易操作，也不容易出错!

由此，笔者思考运用约分法来求解分式方程，通过不等价变形(约分)使得解答过程中失去增根来避免分式方程增根的产生．例如解方程移项通分后可得即，约分为，所以原方程无实数解;再如解方程，移项通分得:，即，不能约分，所以3－14x=0，解得．经检验是原方程的解．方程时，如果约去(x－2)得到:0，解得x=2，代入后原方程的分母等于0，所以x=2是增根，并不是原方程的根!事实上，约分的过程实际也是在消去分母，并不是同解变形．如上述方程 (x－2)2(x－2)(x+3)=需要提醒的是:不恰当的约分，也会产生解题错误:如解0中消去分母(x－2)，分式方程中分母的取值范围发生了变化:从x≠2且x≠－3变为x≠－3，然而约分后方程的分子中还含有原来分母的因式(x－2)，从而产生了增根．而前两个方程没有增根产生，是因为约分后分子中已经没有原分母的因式．由此考虑改进方法，姑且可称之为广义约分:在约分时不考虑因式的次数，只要是相同的因式均约去．如第三个方程中分子约去(x－2)2，分母约去(x－2)变形为，所以原方程无解．这个过程不是同解变形，但是与分母相同的因式所解出的根必定为增根，由此可约去不同次数的因式，利用失根避免产生增根，原方程的解并不会受影响．广义约分法解分式方程的基本步骤为:移项使方程右边为零;通分;广义约分:约去分子、分母相同的因式;最后求得方程的解．

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