浙江省绍兴市上虞区竺可桢中学(312352) 徐 骏 ●

利“刃”在手 化“折”成“直”
——例析坐标系中三角形周长最小值问题

浙江省绍兴市上虞区竺可桢中学(312352) 徐 骏 ●

在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线．而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一．本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考．

1．三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点

例1 (2015年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点)，过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD，PE，DE．是否存在点P，使△PDE的周长最小?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．

如图2，过E点作EG⊥BC于点G．当E，P，F三点共线，即点P为EG与抛物线的交点时，EP+PF的值最小，此时，所以△PDE周长最小时点P的坐标为(－4，6)．

点评 本例三角形的三个顶点中，点P为动点，点D、E均为定点．由于DE的长为定值，欲使△PDE的周长最小，只需满足PD+PE的值最小即可．进而利用“点P运动的过程中，PD与PF的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC上一动点F与直线外一定点E的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P的位置．

例2 (2012年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

分析 易知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，故直线AC的解析式为y= 3x+3．

如图4，作点B关于直线AC的对称点B'，连接B'D，交AC于点M，则△BDM即为符合题意的周长最小的三角形．(证明如下:不妨在直线AC上取异于点M的任一点M'，连接B'M'，DM'，BM'．由对称性可知:BM=B'M，BM' =B'M'，于是△BDM的周长=B'M+DM+BD，△BDM'的周长=B'M'+DM'+BD．而在△B'DM'中，B'M'+DM'＞B'D，即B'M'+DM'＞B'M+DM，所以△BDM'的周长大于△BDM的周长．)

若BB'交AC于点 E，则∠ABE=90°－∠CAO=∠ACO，BB'=2BE=2AB·cos∠ABE=2AB·cos∠ACO=2

过B'点作B'F⊥x轴于点F，则xB'=3－BF=3－BB'故，易求直线B'D的解析式为

点评 本例三角形的三个顶点中，点M为动点，点B、D均为定点，且均位于动点M所在直线AC的同一侧．通过寻找定点B关于动点M所在直线AC的对称点B'，将问题转化为“求定直线AC上一动点M与直线异侧两定点B'，B的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加以解决(当B'、M、D三点共线，即点M为直线B'D与直线AC的交点时，DM+BM的值最小，此时△BDM的周长最小)．

2．三角形的三个顶点中有两个顶点是动点

例3 (2013年湖南张家界，有改动)如图5，抛物线y =ax2+bx+c(a≠0)过点C(0，1)，顶点为Q(2，3)，点D在x轴正半轴上，且OD=OC．将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问:在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由．

分析 存在．理由:如图6，分别作点 C关于直线QE，x轴的对称点C'，C″，连接C'C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，此时△PCF的周长等于线段C'C″的长．(证明如下:不妨在线段OD上取异于点F的任一点F'，在线段QE上取异于点P的任一点P'，连接CF'，CP'，F'P'，F'C″，P'C'．由轴对称的性质可知△P'CF'的周长=F'C″+F'P'+P'C'，而F'C″+F'P'+P'C'的值为折线段C'－P'－F'－C″的长，由两点之间线段最短可知 F'C″+F'P'+P'C'＞C'C″，即△P'CF'的周长大于△PCF的周长．)

如图6，过点Q作QG⊥y轴于点G，过点C'作C'H⊥y轴于点H，则△CGQ∽△CHC'，可得即，所以CH=C'H=4，C″H=CH+CC″=6．

所以，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为

点评 本例三角形的三个顶点中，点C为定点，点P、F均为动点，且分别在定直线QE、OD上，通过寻找定点C关于两个动点所在直线的对称点C'、C″，就得到由三条与△PCF三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”(当C'、P、F、C″四点共线，即点P、F分别为直线QE、OD与直线C'C″的交点时，△PCF的周长最小)．

3．三角形的三个顶点都是动点

例4 (2015年辽宁沈阳，有改动)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，与y轴交于点A．若点P是线段BC上的动点(点P不与点B、C重合)，点Q是线段AB上的动点(点Q不与点A、B重合)，点R是线段AC上的动点(点R不与点A、C重合)，请直接写出△PQR周长的最小值．

分析 易求A(0，2)，B(－3，0)，C(1，0)，故AB=

如图9，分别作点P关于直线AB，AC的对称点P'， P″，连接P'P″，交AB于点Q，交AC于点R，则△PQR是过点P的△ABC的内接三角形中周长最小的三角形，且△PQR的周长等于线段P'P″的长．

若PP'交AB于点D，PP″交AC于点E，连接DE，则∠ADP=∠AEP=90°，DP=DP'，EP=EP″，故P'P″=2DE．

延长DF交⊙F于点G，连接GE，则∠DEG=90°，∠BAC=∠DGE，所以△PQR的周长=P'P″=2DE=2DG ·sin∠DGE=2AP·sin∠BAC≥2AO·sin∠BAC=2×2×

如图10，当点P与点O重合时，△PQR的周长最小，最小值

点评 本例三角形的三个顶点均为动点，应采取“以退为进”的策略，即:先假设P点的位置已经确定(即视点P为一定点)，容易得出结论:待求三角形周长最小时，其周长等于线段P'P″的长，然后继续探究点P的位置后，发现线段P'P″长度的最小值即为点A到x轴的距离．因为AP'=AP=AP″，∠P'AP″=2∠BAC，所以△AP'P″为等腰三角形，且其顶角∠P'AP″为定值．由于本例对解答过程不作要求，也可以根据“顶角为定值的等腰三角形底边长的最小值由腰长的最小值来确定”这一经验来判定点P的位置．然而，对该例的思考却不止于此，我们还可以再进一步探索BR和AC，CQ和AB的位置关系．参考本例分析问题的方法，我们可以得出这样的结论:AP，BR，CQ为锐角三角形ABC的三条高，以P，Q，R三个垂足为顶点的三角形即为周长最小的内接三角形．证明留待读者自行完成．

通过上述问题的探究，我们可以发现，解决此类问题通常可以采取的策略是:把已知问题转化成容易解决的问题，即关联我们熟知的几何基本模型，构造一条以动点为转折点的折线，从而为性质的运用创造条件．如:解答例1时，需分析点在运动的过程中保持不变的关系，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”问题，然后利用“垂线段最短”把折线化“折”成“直”．解答例2，例3时，则需牢牢抓住图形的几何特征，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”问题，借助轴对称变换使两定点与定直线的位置关系发生改变，即化“同”为“异”，最后利用“三角形任意两边之和大于第三边”或“两点之间线段最短”把折线化“折”成“直”．例4题目的背景看似复杂，但图形上似乎可以捕捉到上述两个几何基本模型的“影子”，认清了这一点，便能使复杂问题简单化，迅速找到问题的突破口．在平面几何的教学中，教师要重视几何基本模型的提炼，帮助学生深刻领悟模型的本质特征，鼓励学生尝试从不同角度拓展模型，并在应用中彰显其魅力，从而促进学生解题经验的积累和思维水平的提升，真正提高学生的数学素养和解决问题的能力．

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