浙江省绍兴市上虞区竺可桢中学(312352) 徐 骏 ●

利“刃”在手 化“折”成“直”
——例析坐标系中三角形周长最小值问题

浙江省绍兴市上虞区竺可桢中学(312352) 徐 骏 ●

在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线．而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一．本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考．

1．三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点

例1 (2015年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点)，过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD，PE，DE．是否存在点P，使△PDE的周长最小?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．

如图2，过E点作EG⊥BC于点G．当E，P，F三点共线，即点P为EG与抛物线的交点时，EP+PF的值最小，此时，所以△PDE周长最小时点P的坐标为(－4，6)．

点评 本例三角形的三个顶点中，点P为动点，点D、E均为定点．由于DE的长为定值，欲使△PDE的周长最小，只需满足PD+PE的值最小即可．进而利用“点P运动的过程中，PD与PF的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC上一动点F与直线外一定点E的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P的位置．

例2 (2012年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点……