江苏省常熟市孝友中学(215500) 陈 进 ●

中考数学应用类问题研究

江苏省常熟市孝友中学(215500) 陈 进 ●

数学应用类问题是中考数学的重要考点，对本市中考数学中的应用问题进行研究，对提高学生的中考成绩具有重要的意义．文中对常见的中考数学应用类问题进行了分类汇总，并对某些种类的问题的解决方法做了简要的说明，最后结合教学实践经验对学生的数学应用类问题的学习做了概述．

中考数学;应用类;问题研究

随着新课程改革的实施，对学生知识运用能力的考查成为了重点，虽然很多学校已经注意到这方面的问题，但是数学应用类问题的解决还存在较大的问题．从教材和课后练习题的整体编排上来看，多数习题均是以情景为背景的纯数学问题，与中考中出现的贴近学生实际生活的问题有一定的差距，需要教师能够结合考试要求独立地进行数学应用问题的编排设计．研究中考数学应用问题的分类，提高教师数学应用问题的编排能力，对于提高学生的数学知识的应用能力具有重要的现实意义．

一、中考数学应用问题分类

根据数学问题引入实际生活中的程度可以分为仿真应用题和全真应用题，其中仿真应用题主要是指以学生的实际生活为背景，但是学生又不经常接触到的问题为背景，通过教师改造来设计的数学问题．例如:住在小河上游的居民A发现处在小河下游的同侧居民B家着火，居民A拿起水桶去河中打水，之后快速赶往B家救火，请同学们替居民A规划出最佳的行动路线．全真应用题是指学生生活中的现实场景，没有经过任何的修饰和改造的数学问题．例如:国庆节来临之际，超市举行大型的“买满赠”活动，超市购物满300送100购物卷，满500送260元购物卷，超500元送260元现金，其中购物卷所抵扣的钱数不再结算的金额内，小明在超市看中一个衬衣、一件大衣和一个夹克，售价分别是120、500和320，问小明选择哪种方案最划算?

二、数学模型的建立种类

数学建立模型的过程就是将实际问题向纯数学化问题过渡的过程，从整体上来看主要分为以下几个方面:第一，直接套用相应的公式来解决问题．第二，通过以给定的条件进行定性和定量分析后来解决问题．第三，剔除干扰信息，分析主要矛盾，通过信息加工再进一步数学化．第四，根据已知条件建立数学模型，再对所得数学模型进行求解．

1．方程模型

对于解决存在较多等量关系的数学问题时可以通过方程模型来解决，例如比较常见的储蓄利率问题、施工问题等．例:2014年苏州中考数学第16题，某地准备对一段长为120米的河道进行疏通，如果甲工程队先单独干4天，剩余的由乙工程队单独干需要9天;如果甲工程队先单独干8天，剩余的由乙工程队单独干需要3天，设甲工程队每天平均疏通河道x米，乙工程队每天平均疏通河道y米，那么(x+y)的值是多少?对于这类问题可以通过:分析问题——建立模型——求解模型——分析验证——解答，五个步骤来完成．

2．函数模型

函数关系广泛存在于日常生活中，它反映了事物之间存在的广泛联系．对于这一类的问题可以通过建立直角坐标系，通过直观图形等方式来解决，常见的问题有工程计划决策、最小成本、最佳方案等．例如:2012年苏州中考数学第26题，已知斜坡AB长60米，坡角为30°，BC⊥AC．现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台 DE和一条新的斜坡BE．(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°，则平台DE的长最多为多少米?

3．三角模型

三角形不论是在几何还是代数部分都具有较强的应用性，我们可以通过三角模型来解决航海、天文、测量等方面的问题．例如:2012年苏州中考数学第26题，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2(单位:km)．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离．对于这道题主要考查学生方向角的问题，它是以实际问题为背景的三角形应用问题．解答此类问题需要通过图形找出代数关系，最后通过方程来解答．就此题而言，可以先通过P点作出到海岸线的垂线PD，并将PD的距离表示为x，将BD和AD的距离分别用x表示出来，最后通过AB=BD+AD的关系，列出方程求解．

4．统计模型

统计类问题也是中考数学中常见的问题，对于这类问题学生要学会如何收集数据和分析数据，能够把握样本的统计思想．例如:2016年苏州中考数学第23题，在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字1、0、2，它们除了数字不同以外，其他的都相同．随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为___．

三、中考数学应用类问题的应对

1．准确把握已知条件

对于数学应用类问题首先要做的就是理解题意，要搞清楚题目中的已知条件，搞清楚相关数据的用途．尤其是在以大量的生活化语言为载体的应用类问题，学生要具备能够将生活化语言转化成数学语言的能力，这样才能够从繁琐的语言表述中找出引发结论的条件．例如:随着人们出行数量的增加，本市火车站压力明显增加，为了满足人们出行的需求，现将火车站作进一步的扩展工程，该项工程如果由甲队来完成所用的时间比乙队单独完成所需要的时间多5个月，并且两队单独完成该工程需要的时间的乘积等于两队单独完成该工程所需时间之和的6倍，问:两个工程队各需要多长时间能够完成该工程?如果甲队的施工开支为每月100万，乙队的施工开支每月比甲队多50万，为了缩短工期让两支队伍一起开工．完成工程中，甲队的工作时间是乙队的2倍，问甲队最多施工多久才能够保证工程款不超过1500万?对于这个问题，第一问较为明显，但是第二问表述相对较为繁琐，学生就需要把握题目中的关键信息，寻找其中的等量关系来列出方程和不等式．

2．提炼正确的解题方法

对于数学应用类问题都会有与之相对应的解题方法，通过对题意的理解寻找正确的解题方法是快速解题的关键．通常情况下，应用类问题的解题方法主要包括数形结合、化归与转化、类比、分类、换元和配方等方法．一般情况下，对于数与代数、图形与几何、统计与概率等问题可以采用数形结合的方法来解决．另外，数学模型也是中考数学重要的解题方法之一，其本质就是通过题目的条件抽取出一次函数和二次函数模型，其大体步骤分为:首先根据题目条件概括出数学模型，之后对数学模型进行推理演算求出数学模型的解，最后将数学模型得出的结果套用到应用类问题中，得出实际的答案．从整体教学的角度来看，还要教授学生如何发现题目中的数学思想，例如:在学习方程部分的相关知识时，可以引导学生完成从特殊到一般的概括，引导学生有目的地层层递进地发掘问题的本质，要教育学生从学习知识到发掘数学思想逐步过渡，形成思想和知识并重的学习方式．

3．重视试题的反思与检验

数学应用问题对学生的逻辑思维能力要求较高，重视试题的反思与检验能够促进学生养成严谨的思维，提高数学应用题的解题能力．在平时的练习中，做完数学题后要及时地反思和检验，尤其是对解题结果的检验能够帮助学生发现自己错误的根源，并做好反思工作，对于同一类问题做到触类旁通．另外，教师平时的教学中还要教育学生注重对生活中遇见的一些事情进行生活经验的积累，通过加强生活与书本知识之间的联系增强学生学习的积极性和自信心．

［1］梅俊雷．数学试题中的数学化原则［J］．数学教育学报，2014(10)

［2］景敏，陈丽敏，王瑾．2013年中考数学试题分类解析－－图形与几何［J］．中考指南，2014(1－2)

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